3.3 Complément : asymptotes
 

3.3.1 Asymptote horizontale
 

Définition 3.2
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle du type [A ; +∞ [ (resp.] - ∞ ; A]), et
Cf  sa courbe représentative dans un repère.
On dit que la droite d d’équation y = b est asymptote à la courbe Cf  en +∞ (resp. -∞) si :

limx→+∞fx=bresp  limx→-∞fx=b

Exemple 3.5
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x2-3x+13x2+1 . On a

limx→+∞f(x)=limx→+∞2x23x2=23

Donc la droite d’équation y = 23 est asymptote horizontale à Cf  en +∞. (Elle l’est aussi en -∞).

3.3.2 Asymptote verticale
 

Définition 3.3                                                                                                                     
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type ]a ; b], avec a valeur interdite, et Cf  sa
courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf  si :

limx→a+f(x)=+∞ ou limx→a+f(x)=-∞ 

Exemple 3.6
Soit f  la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par f(x) = 1x-1. On a :

limx→1+f(x)=+∞

Donc la droite d’équation  x = 1 est asymptote verticale à Cf

3.3.3 Asymptote oblique
 

Définition 3.4                                                                                                                  
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type [A ; +∞[ (resp. ]-∞ ; A]),  et Cf  sa courbe
représentative dans un repère.
On dit que la droite d d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe Cf  en +∞ (resp. -∞)
si :

limx→+∞fx-(ax+b)=0 resp limx→-∞fx-(ax+b)=0

Remarque 3.1 (Positions relatives)
Si f(x) - (ax + b) > 0 alors Cf  est au-dessus de d et si f(x) - (ax + b) < 0 alors Cf  est en
dessous de d.

Exemple 3.7
Soit f  la fonction définie sur IR par f(x) = 2x - 1 + 1x+1 . On a :

limx→+∞fx-(2x-1)=limx→+∞(2x-1+1x+1-(2x-1))

Donc la droite d d’équation y = 2x + 1 est asymptote oblique à la courbe Cf en +∞.
Étudions la position relative de Cf  par rapport à d :