6.1 La fonction logarithme népérien
 

6.1.1 La fonction ln
On note f la fonction inverse (f : x →1x ). Cette fonction est définie et continue sur]0 ; +∞ [
et elle admet des primitives sur cet intervalle

.

Définition 6.1

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction f : x→ 1/x  sur]0 ; +∞ [ qui s’annule pour x = 1. On la note ln.

Le logarithme népérien d’un nombre x > 0 est noté ln(x) ou ln x.

Remarque 6.1
Sur la calculatrice la touche permettant de calculer le logarithme népérien d’un réel x strictement positif est la touche LN, à ne pas confondre avec la touche log

6.1.2 Premières conséquences
 

Propriété 6.1
D’après la définition, on a :
– le logarithme népérien de 1 vaut 0 : ln 1 = 0,
– la fonction logarithme népérien est dérivable sur R+*  et :
pour x > 0, ln’(x) = 1/x
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur R+*  : en effet, pour x > 0,
ln’(x) =1/x > 0.
On peut regrouper ces résultats dans le tableau de variation suivant :

6.1.3 Étude du signe de ln x
D’après l’étude des variations de la fonction ln, on a la propriété suivante :

Propriété 6.2

Pour tous réels a et b de R+* , on a :

            ln a > ln b si et seulement si a > b ;

            ln a = ln b si et seulement si a = b.

En utilisant le fait que ln 1 = 0 on obtient alors la propriété qui suit :

Propriété 6.3                                                                                                                  
Pour tout réel x > 0, on a :
ln x = 0 si et seulement si x = 1 ;
ln x > 0 si et seulement si x > 1 ;
ln x < 0 si et seulement si x < 1.

6.1.4 Fonction composée
 

Exemple 6.1
Soit f la fonction définie par f(x) = ln(2x + 4). Déterminer l’ensemble de définition et de
dérivabilité de f et calculer sa dérivée. Étudier ensuite le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
f(x) existe pour 2x + 4 > 0 c’est à dire pour x > -2. Donc Df =] - 2 ; +∞ [. La fonction
logarithme est dérivable sur son ensemble de définition donc f est dérivable sur ] - 2 ; +∞[.
Pour x > -2, on a : f’(x) = ln’ (u(x)) × u’(x) où u : x → 2x + 4 (dérivée d’une fonction composée).

On obtient donc : pour x>-2, f'x=12x+4×2=22x+4=1x+2

fx>0 si et seulement si 2x+4>1, c'est à dire pour x>-32

Exemple 6.2 (Équation)
Résoudre l’équation suivante : ln(2x² - 12) = ln(5x).
Pour que cette équation ait un sens, il faut nécessairement que 2x² - 12 > 0 et que 5x > 0. On
dresse un tableau de signes :

On résout donc l’équation pour x ∈  ] 6  ; +∞[.
Pour x >x , ln (2x² - 12) = ln(5x) si et seulement si 2x² - 12 = 5x (prop 6.2).
On résout donc l’équation 2x²-5x-12 = 0 qui a deux solutions : α =-32  et β = 4. La solution
α ne convient pas car -32  ≤ 6  par contre la solution β convient.
La solution à l’équation de départ est donc S = {4}.

Exemple 6.3 (inéquation)
Résoudre l’inéquation ln(2x + 3) ≥ 0.
Pour que cette inéquation ait un sens, il faut que 2x + 3 > 0 soit x >-32

Ensuite, on utilise la propriété 6.3, ainsi pour x >-32 , on a ln(2x + 3) ≥ 0 si et seulement si
2x + 3 ≥ 1 ; c’est à dire x ≥ -1.
La solution est donc : S = [-1 ; +∞ [