2.1 FONCTION

2.1.1  Généralités

Définition 2.1

Une fonction numérique f permet d’associer à un nombre x un autre nombre qu’on note f(x).
Ce nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f. L’ensemble des x pour lesquels f(x)
existe est appelé l’ensemble de définition de f. On le note généralement Df.
On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur I lorsque pour tout a et tout b de I, si
a < b alors f(a) < f(b).
On dit qu’une fonction f est strictement décroissante sur I lorsque pour tout a et tout b de I,
si a < b alors f(a) > f(b).
On dit qu’une fonction f est constante sur I lorsque pour tout a et b de I, f(a) = f(b)

2.1.2 Opérations sur les fonctions

Définition 2.2
Soit u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. On dit que la fonction f est la somme
des fonctions u et v, si pour tout x ∈ I, f(x) = u(x) + v(x).
 

Exemple 2.1
Sur le graphique ci-dessous, la fonction f définie sur I = [-2; 4] est la somme des fonctions u
et v : pour tout x ∈ I, f(x) = u(x) + v(x).

Définition 2.3

Soit u une fonction numérique définie sur I, et λ un réel. On appelle produit de λ par u la fonction définie sur I et notée (λu) qui, à tout x de I associe le nombre (λu)(x) = λ × u(x).

Exemple 2.2

Sur le graphique ci-dessous, la fonction f définie sur I = [−2; 4] est le produit de la fonction u par −1,5, et la fonction g définie sur I = [−2; 4] est le produit de la fonction u par 1/2 : pour tout x ∈ I, on a : f (x) =−1,5u(x) et g(x) = 1/2u(x).

2.1.3 Fonction composée
 

Définition 2.4                                                                                                               
 

Soit g une fonction, et Dg son ensemble de définition. Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x ∈ I, u(x) ∈ Dg. La fonction f composée de u suivie de g définie sur I est la fonction qui à tout x de I associe le nombre f(x) = g (u(x))

On la note f = g ◦ u. On dit aussi que f est la composée de g par u.

Exemple 2.3
Soit u et g les fonctions définies sur R par u(x) = 2x + 3 et g(x) = x². On note f et h les
fonctions définies par : f = g ◦ u et h = u ◦ g. On a :

Finalement f est définie par f(x) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.