Cours de Math terminale ES(A4)
Fonction logarithme neperien
etude d une fonction composee
6.4 Étude d’une fonction composée
6.4.1 Dérivée
Théorème 6.1
Soit u une fonction définie dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction ln(u) est dérivable sur I et on a :
pour tout x∈I, lnu'x=u'(x)u(x)
Démonstration:
On a : ln ◦u qui est définie sur I, u est dérivable sur I et pour tout x0 ∈ I, u(x0) > 0 donc
ln est dérivable en u(x0). Donc, d’après le théorème de dérivation d’une fonction composée
pour tout x0 ∈ I, ln ◦u est dérivable en x0.
Ainsi, ln ◦u est dérivable sur I et on a :
lnu'=ln'u×u'=1u×u'=u'u
Exemple 6.4
Soit f la fonction définie par f(x) = ln(x2 - 2x - 4).
1. Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité de f.
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Calculer f’(x).
4. En déduire les variations de f. Dresser son tableau de variation.
6.4.2 Primitive de u'u
Théorème 6.2
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de signe constant sur I et qui ne s’annule pas
sur I.
– Si u est strictement positive sur I alors les primitives de u'u sont les fonction Fk qui s’écrivent
sous la forme :
Fk(x) = ln(u(x)) + k, où k ∈ R
– Si u est strictement négative sur I alors les primitives de u'u sont les fonction Fk qui s’écrivent
sous la forme :
Fk(x) = ln(-u(x)) + k, où k ∈ R
Exemple 6.5
Soit f la fonction définie sur R par fx=2x+1x2+x+1 Déterminer la primitive de f sur R qui
s’annule en 0.
Résolution
Pour x ∈ R, x2 + x + 1 > 0 (il suffit de calculer le discriminant. . .). Ainsi f s’écrit sous la forme f = u'u avec u(x) = x2 + x + 1, et u strictement positive sur R.
Les primitives de f sont donc les fonctions Fk définies par Fk(x) = ln(x2 + x + 1) + k où k ∈ R.
Fk(0) = 0 si et seulement si ln(02 + 0 + 1) + k = 0 ; soit k = 0. La primitive cherchée est donc
la fonction F définie sur R par : F (x) = ln(x2 + x + 1).
Exemple 6.6
Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par f(x) =-2x1-x2 Déterminer la primitive de f sur ]1 ; +∞[
qui s’annule pour x = 2.
Résolution
On a f = u'u avec pour x > 1, u(x) = 1 - x2 = (1 - x)(1 + x) < 0.
Donc d’après le théorème 6.2, les primitives de f sur ]1 ; +∞[ sont les fonctions Fk définie par:
Pour tout x > 1, FK(x) = ln -(1 - x2) + k = ln(x2 - 1) + k, où k ∈ R
On cherche k tel que Fk(2) = 0 ; Soit ln(3) + k = 0. D’où k = - ln(3). La primitive cherchée
est la fonction F définie pour x > 1 par :
F (x) = ln(x2 - 1) - ln(3)
6.4.2 Primitive de u'u
Théorème 6.2
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de signe constant sur I et qui ne s’annule pas
sur I.
– Si u est strictement positive sur I alors les primitives de u'u
sont les fonction Fk qui s’écrivent
sous la forme :
Fk(x) = ln(u(x)) + k, où k ∈ R
– Si u est strictement négative sur I alors les primitives de u'u sont les fonction Fk qui s’écrivent
sous la forme :
Fk(x) = ln(-u(x)) + k, où k ∈ R
Exemple 6.5
Soit f la fonction définie sur R par fx=2x+1x2+x+1
Déterminer la primitive de f sur R qui
s’annule en 0.
Résolution
Pour x ∈ R, x2 + x + 1 > 0 (il suffit de calculer le discriminant. . .). Ainsi f s’écrit sous la forme f = u'u 
avec u(x) = x2 + x + 1, et u strictement positive sur R.
Les primitives de f sont donc les fonctions Fk définies par Fk(x) = ln(x2 + x + 1) + k où k ∈ R.
Fk(0) = 0 si et seulement si ln(02 + 0 + 1) + k = 0 ; soit k = 0. La primitive cherchée est donc
la fonction F définie sur R par : F (x) = ln(x2 + x + 1).
Exemple 6.6
Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par f(x) =-2x1-x2
Déterminer la primitive de f sur ]1 ; +∞[
qui s’annule pour x = 2.
Résolution
On a f = u'u
avec pour x > 1, u(x) = 1 - x2 = (1 - x)(1 + x) < 0.
Donc d’après le théorème 6.2, les primitives de f sur ]1 ; +∞[ sont les fonctions Fk définie par:
Pour tout x > 1, FK(x) = ln -(1 - x2) + k = ln(x2 - 1) + k, où k ∈ R
On cherche k tel que Fk(2) = 0 ; Soit ln(3) + k = 0. D’où k = - ln(3). La primitive cherchée
est la fonction F définie pour x > 1 par :
F (x) = ln(x2 - 1) - ln(3)