4.1 Distribution de fréquences. Loi de probabilité

4.1.1 Introduction. Premières définitions

Vocabulaire

L’objet d’une étude d’un phénomène aléatoire est appelé expérience aléatoire. Au cours d’une expérience aléatoire, les résultats possibles sont appelés les éventualités (notées généralement e_i). L’ensemble des n éventualités est appelé l’univers de l’expérience aléatoire. On le note généralement Ω (omega majuscule dans l’alphabet grec). Un événement est un ensemble constitué d’éventualités. Un événement ne comportant qu’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.

Exemple 4.1

On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 :

les éventualités sont e₁ = 1, e₂ = 2, e₃ = 3, e₄ = 4, e₅ = 5, e₆ = 6 ;

L’univers est donc Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ;

si on note A l’événement « obtenir un chiffre pair », alors A = {2; 4; 6} ;

si on note B l’événement « obtenir un six », alors B = {6} : c’est un événement élémentaire.

1. 1. 1. Distribution de fréquences

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire en notant les résultats obtenus, on peut compter le nombre de fois où chaque événement élémentaire se produit, et ensuite calculer sa fréquence d’apparition. On obtient alors pour chaque éventualité e_i une fréquence fi =niN  , où n_i est le nombre d’apparitions de e_i et N le nombre total d’expériences. On dit alors que la distribution de fréquences associée à ces N expériences aléatoires est la suite

(f₁; . . . ; f_p).

Propriété 4.1

(f₁; . . . ; f_p) est une distribution de fréquences associée à N expériences aléatoires identiques ;

  on a : f₁ +-----+ f_p = 1.

-si A est un événement, alors la fréquence de A, f (A) est la somme des fréquences de toutes les éventualités constituant A.

Exemple 4.2

On lance cent fois de suite une fléchette sur une cible ayant cinq zones : noire, rouge, jaune,

bleue et verte. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

La distribution de fréquences associée à ces cent lancers de fléchettes est donc :
(0,05 ; 0,15 ; 0,20 ; 0,35 ; 0,25)

1. 1. 2. Loi de probabilité

Exemple 4.3
Dans une urne on a placé huit boules numérotées de 1 à 8. On en tire une au hasard. Si les
boules sont indiscernables au toucher, on a autant de chances d’en tirer une plutôt qu’une autre. On dit que la probabilité d’obtenir chaque boule est égale à 1/8. On écrit :
                                  p(1) = p(2) = · · · = p(8) = 1/8
On dit qu’on a défini une loi de probabilité sur l’ensemble Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.
Plus généralement, on a la définition suivante :

Définition 4.1
Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire ayant n éventualités e1, e2,. . ., en.
Si à chaque événement élémentaire {ei} on associe un nombre pi ∈ [0 ; 1] tel que :
p1 + p2 + · · · + pn = 1
Alors on définit une loi de probabilité sur l’univers Ω.
Chaque pi est appelé probabilité de l’événement {ei}.
La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des éventualités composant A.
 

Conséquences
– Ω est l’événement certain : p(Ω) = 1.
– Ø est l’événement impossible : p(Ø) = 0.

Exemple 4.4
En reprenant l’énoncé de l’exemple 4.3, on note A l’événement « obtenir un chiffre strictement supérieur à 5. On a alors A = {6 ; 7 ; 8}, et donc p(A) = 3/4.

4.1.4 Loi des grands nombres
Pour une expérience aléatoire donnée ayant une loi de probabilité P, la distribution de fré-
quences obtenue sur un nombre d’expériences est proche de la loi de probabilité lorsque le
nombre d’expériences est « très grand ».

4.1.5 Équiprobabilité
 

Les n événements élémentaires d’un univers Ω lié à une expérience aléatoire sont dits équiprobables si la probabilité de chacun d’eux est 1/n
Dans ce cas la probabilité d’un événement A est :

PA=nombre d’éléments de A nombre d’éléments de Ω =Card(A)Card(Ω)

Remarque 4.1
Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement
dans l’énoncé un expression du type :
– on lance un dé non pipé. . . :
– on tire dans un jeu de cartes non truqué. . . ;
– dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher. . . ;
– on rencontre au hasard une personne parmi. . . ;