10.1 Intégrale d’une fonction continue

Définition 10.1                                                                                                                  
Soit f une fonction définie sur I un intervalle de R et admettant la fonction F comme primitive
sur I. Si a et b sont deux réels de I, on appelle intégrale de a à b de f(x)dx le réel F (b) - F (a).

                                  On note : abfxdx=F(x)ab=Fb-F(a)

10.2 Aire sous une courbe
 

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. On note Cf   courbe repré
sentative dans un repère orthogonal (O;i , j ).
L’unité d’aire (u.a.) est le rectangle construit sur les vecteurs unitaires de ce repère.
On admettra le résultat suivant :

Propriété 10.1
L’intégrale de a à b de f(x)dx est égale à l’aire délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf
et les droites d’équations x = a et x = b.

Exemple 10.1
Soit f la fonction définie sur [2 ; 5] par f(x) = -x² + 7x - 10. Soit Cf  sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (unité : 1cm). Déterminer l’aire sous la courbe entre 2 et 5.

Soit F une primitive de f sur [2 ; 5] : F(x) = -13 x³ +72 x² - 10x. On a donc :

A =25fxdx=F(x)25=F5-F(2)=92cm2

10.3 Valeur moyenne

Définition 10.2 

Pour toute fonction définie et continue sur un segment [a, b] de IR, la  valeur moyenne de f sur [a, b] est le réel m tel que :

m = .

Exemple 10.2
En reprenant la fonction de l’exemple 10.1, la valeur moyenne de la fonction f entre 2 et 5 est :

15-225fxdx=13×92=32

Propriété 10.2 (admise)                                                                                                     

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b] avec a < b, alors il existe un réel            c ∈ [a ; b] tel que f(c) est égal à la valeur moyenne de la fonction sur [a ; b] ;

 C’est-à-dire tel que :

                                 b-afc=abfxdx

Remarque 10.1
Cette propriété signifie qu’il existe un réel c ∈ [a ; b] tel que l’aire sous la courbe entre a et b
est égale à l’aire du rectangle de largeur b - a et de hauteur f(c).

Sur la figure ci-dessus, l’aire coloriée en bleu et l’aire hachurée en rouge sont égales

10.4 Propriétés de l’intégrale

Théorème 10.1 (linéarité)                                                                                              

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] et soit λ un réel quelconque. Alors

abf+gxdx=abfxdx+abgxdx

ab(λ f)xdx=λ abfxdx

Remarque 10.2
Si f est une fonction continue sur [a ; b] et négative sur cet intervalle, alors la fonction -f est
aussi continue sur [a ; b] mais positive sur cet intervalle. On a donc :

abfxdx=-ab-fxdx=-A

Ainsi l’intégrale de a à b d’une fonction négative est donc l’opposé de l’aire délimitée par Cf,
l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Théorème 10.2 (positivité)                                                                                               

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

– Si f est positive sur [a ; b], alors abfxdx  ≥ 0.
– Si f est négative sur [a ; b], alorsabfxdx≤0

Théorème 10.3 (ordre)

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] telles que pour tout x ∈ [a ; b] on a
f(x) ≤ g(x). Alors :

abfxdx≤abgxdx

Sur la figure ci-dessus, pour x ∈ [a ; b] on a f(x) ≤ g(x). L’aire hachurée en rouge (intégrale de
f entre a et b) est inférieure à l’aire coloriée en bleu (intégrale de g entre a et b)

Propriété 10.3 (relation de Chasles)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et soit c ∈ [a ; b]