5.3 Notion d’intégrale
 

5.3.1 Définition

Propriété 5.4

Soit f une fonction définie sur I admettant des primitives sur I. Soit F et G deux primitives de f sur I. Soit a et b deux réels de I. Alors :

F (b) − F (a) = G(b) − G(a).

Démonstration :
F et G sont deux primitives de f donc elles diffèrent d’une constante : il existe k ∈ R tel que
pour tout x ∈ I, G(x) = F(x) + k. On a donc :
G(b) - G(a) = (F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) + k - F(a) - k = F(b) - F(a)
 

Définition 5.2                                                                                                                   
Soit f une fonction définie sur I un intervalle de R et admettant la fonction F comme primitive
sur I. Si a et b sont deux réels de I, on appelle intégrale de a à b de f(x)dx le réel F(b) - F(a).

on note: abfxdx=F(x)ab=Fb-F(a)

Remarque 5.3
Dans l’écriture ci-dessus, la lettre « x » désigne une variable « muette » : on peut la remplacer
par n’importe quelle autre lettre non utilisée :

abfxdx=abftdt= abfudu=…..

Exemple 5.8

Calculer   23(2x+3)dx=x2+3x23= (3² + 3 × 3) − (2² + 3 × 2) = 18 − 10 = 8

5.3.2  Propriétés

Propriété 5.5                                                                                                                    
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et soit a et b deux réels de I.

Alors on a

aafxdx=0    et bafxdx=-abfxdx

Démonstration

Soit F une primitive de f sur I on a :

aafxdx=F(x)aa=Fa-F(a)=0

bafxdx=F(x)ba=Fa-Fb=-Fb-Fa=-F(x)ab

5.3.3 Écriture de primitives
 

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit a un réel de I fixé et x
une variable de I : c’est à dire un réel pouvant prendre n’importe quelle valeur de I.
Pour un x fixé, axftdt  est un réel. Si à chaque x de I on associe ce réel, on obtient une
fonction définie sur I par :

G:x→axftdt

Propriété 5.6
La fonction définie ci-dessus est la primitive de f qui s’annule en a.
 

Démonstration :
Soit F une primitive de f sur I. On a pour x ∈ I :

Gx=axftdt=Fx-Fa

Or -F(a) est une constante donc G(x) = F(x)+k pour tout x de I. Donc d’après la propriété 5.1
la fonction G est une primitive de f.
De plus G(a) = F(a) - F(a) = 0. Donc G est bien la primitive de f qui s’annule pour x = a.

Exemple 5.9
Soit f la fonction définie sur R+*  par f(t) =1/t
La fonction f est continue sur R+*   donc elle admet des primitives. On n’en connait pas encore1
mais on peut les écrire à l’aide d’une intégrale : si a > 0

Fa:x→axdtt est la primitive de f qui s'annule en a.