Cours de Math terminale ES(A4)

Fonction et continuite

2.2 Théorèmes sur les limites

Définition 2.5

Soit f une fonction définie sur un intervalle I du type [a; +∞[.
– On dit que f a pour limite l lorsque x tend vers +∞ si les valeurs de f(x) sont aussi proches
de l que l’on veut lorsque x devient de plus en plus grand. On écrit :
limx→+∞f(x)=l
– On dit que f a pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞ si les valeurs de f(x) sont aussi
grandes que l’on veut lorsque x devient de plus en plus grand. On écrit :

limx→+∞f(x)=+∞

Définition 2.6

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Le réel a appartient à I ou est une borne de I.
– On dit que la limite de f lorsque x tend vers a est l si les valeurs de f(x) peuvent être aussi
proches que l’on veut de l lorsque x se rapproche de a. On écrit :
limx→af(x)=l

– On dit que la limite de f lorsque x tend vers a est +∞ si les valeurs de f(x) peuvent devenir
aussi grandes que l’on veut lorsque x de rapproche de a. On écrit :
limx→afx=+∞

Remarque 2.1
Ces définitions sont « adaptables » pour des limites en -∞ et/ou pour des limites valant -∞.
Dans les tableaux suivants, l et l0 sont des nombres réels finis. Ces tableaux résument les
propriétés à connaitre sur les sommes, les produits et les quotients de limites de deux fonctions f et g.
Ces propriétés sont valables pour des limites en +∞, en -∞ ou en a. Lorsque les cases
contiennent « F.I. », il s’agit d’une forme indéterminée : on ne peut pas conclure (ça dépend
des cas).

2.2.1 Limite d’une somme

Si f a pour limite	l	l	l	+∞	−∞	+∞
et si g a pour limite	l	+∞	−∞	+∞	−∞	−∞
alors, f + g a pour limite	l + l	+∞	−∞	+∞	−∞	F.I.

2.2.2 Limite d’un produit

Si f a pour limite	l	l > 0	l > 0	l < 0	l < 0	+∞	+∞	−∞	0
et si g a pour limite	l	+∞	−∞	+∞	−∞	+∞	−∞	−∞	±∞
f × g a pour limite	l × l	+∞	−∞	−∞	+∞	+∞	−∞	+∞	F.I.

2.2.3 Limite d’un quotient fg

Cas où la limite de la fonction g n’est pas nulle

Si f a pour limite	l	l	+∞	+∞	−∞	−∞	±∞
et si g a pour limite	l'≠0	±∞	l’ > 0	l’ < 0	l’> 0	l’< 0	±∞
f/g a pour limite	l /l’	0	+∞	−∞	−∞	+∞	F.I.

Cas où la limite de la fonction g est nulle

Si f a pour limite

l > 0 ou +∞

l < 0 ou −∞

et si g a pour limite

0 en restant

positive

0 en restant

négative

0 en restant

positive

0 en restant

negative

f/g a pour limite

+∞

−∞

+∞

F.I.

Nous distinguons donc quatre formes dites « indéterminées » :

00 ; ∞∞ ; ∞-∞ ; 0×∞

Exercice 2.4

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x² − 2x + 3.

Étudions la limite de f lorsque x tend vers +∞

limx→+∞x2=+∞ et limx→+∞-2x+3=-∞

La limite en +∞ est donc une forme indéterminée du type ∞ - ∞. Pour « lever » cette
indétermination, on va écrire l’expression de f(x) différemment :

fx=x2×1-x2×2x+x2×3x2=x21-2x+3x2

Or: limx→+∞1-2x+3x2=1 et : limx→+∞x2=+∞ par Epie Epie

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