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- Quelques exemples de référence
Exemple 4.5 (le dé équilibré)
On lance un dé équilibré à six faces. On considère l’événement A : « obtenir un chiffre pair »
et l’événement B : « obtenir un diviseur de six ». Calculer la probabilité de chacun de ces deux événements.
Le dé est équilibré donc on est dans une situation d’équiprobabilité. On a donc pour 1 ≤ i ≤ 6,
p(i) = 1/6
On a : A = {2 ; 4 ; 6} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Donc p(A) = 3/6 = 1/2, et p(B) =4/6 = 2/3.
Exemple 4.6 (les boules de couleurs)
Dans une urne on place dix boules de couleurs numérotées. Les boules sont indiscernables au
toucher et sont réparties comme suit :
– quatre boules rouges numérotées 1, 2, 3 et 4 ;
– trois boules blanches numérotées 1, 2 et 3 ;
– deux boules vertes numérotées 1 et 2 ;
– une boule jaune numérotée 1.
On tire au hasard une boule de l’urne. Calculer les probabilités des événements suivants :
– U : « obtenir une boule numérotée 1 ».
– B : « obtenir une boule blanche ».
– A : « obtenir un chiffre pair sur une boule rouge ».
– I : « obtenir un chiffre impair ».
Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage se fait au hasard, on est donc dans une
situation d’équiprobabilité : chaque boule a une probabilité p = 1/10 d’être tirée. En notant
chaque éventualité par l’initiale de la couleur suivie du chiffre de la boule, on a :
– U = {R1 ; B1 ; V 1 ; J1}, donc p(U) = 4/10 = 0,4 ;
– B = {B1 ; B2 ; B3}, donc p(B) =3/10 = 0,3 ;
– A = {R2 ; R4}, donc p(A) = 2/10 = 0,2 ;
– I = {R1 ; R3 ; B1 ; B3 ; V 1 ; J1}, donc p(I) = 6/10 = 0,6 ;
Exemple 4.7 (le jeu de cartes)
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes non truqué. On appelle « figure » les
rois, dames et valets. Calculer les probabilités des événements suivants :
– A : « obtenir une figure » ;
– B : « obtenir un pique » ;
– C : « obtenir un as ».
Le jeu de cartes n’est pas truqué et le choix se fait au hasard, on est donc dans une situation
d’équiprobabilité : chaque carte a une probabilité p = 1/52 d’être choisie :
– dans le jeu il y a 4 × 3 = 12 figures. Donc p(A) = 12/52= 3/13 ;
– dans le jeu il y a 13 piques. Donc p(B) = 13/52 = 1/4 ;
– dans le jeu, il y a 4 as. Donc p(C) = 4/52= 1/13.
Exemple 4.8 (non-équiprobabilité)
Un dé est pipé de sorte que les faces 1, 2, 3, 4 et 5 aient les probabilités suivantes d’apparaître
p(1) = p(2) = p(3) = 0,1 ; p(4) = p(5) = 0,2
1. Calculer p(6).
2. Calculer p(A) et p(B) où A et B sont les événements définis dans l’exemple 4.5.
1. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1, donc :
p(6) = 1 - (p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)) = 0, 3
2. p(A) = p(2) + p(4) + p(6) = 0,6 et p(B) = p(1) + p(2) + p(3) + p(6) = 0,6.
Exemple 4.9 (rencontre)
Dans une classe, 20 % des élèves ont 16 ans, 35 % ont 17 ans, 30 % ont 18 ans et 15 % ont
19 ans. On rencontre au hasard un élève de cette classe. Calculer la probabilité qu’il ait « au
moins 17 ans », puis qu’il ait « strictement plus de 17 ans » :
– on note A l’événement l’élève a au moins 17 ans : p(A) = 35% + 30% + 15% = 80% ;
– on note B l’événement l’élève a strictement plus de 17 ans : p(B) = 30% + 15% = 45%.
