4.4 Probabilités conditionnelles
 

4.4.1 Exemple
 

Exemple 4.12
On a regroupé dans le tableau suivant les pourcentages de filles et de garçons suivant la spécialité choisie parmi tous les élèves de terminale ES d’un lycée :

1. On choisit au hasard un élève de terminale ES.
On note F l’événement « c’est une fille », et M l’événement « l’élève a choisi la spécialité
maths ». On a alors :
p(F) = 52%, p(M) = 28% et p(F ∩ M) = 12%.
2. On rencontre au hasard un élève de terminale ES et c’est une fille. Quelle est la probabilité
qu’elle soit en spécialité maths ?
Cette probabilité est p =12/52 (il ya 12 spé maths parmi les 52 filles).
On a donc : p =12/52= 0,12 / 0,52=12% / 52%
On dit que p est une probabilité conditionnelle. On note pF (M) = p(F∩M)p(F)   . On lit : probabilité de M sachant F.

4.4.2 Généralisation
 

Définition 4.4                                                                                             

Soit A et B deux événements d’un univers Ω.
Si p(B) 6= 0, on appelle « probabilité de A sachant B » ou « probabilité de A si B » et on note
pB(A)  le nombre :

pBA=p(A∩B)p(B)

Remarque 4.2
– On a 0 ≤ p(A ∩ B) ≤ p(B) donc pB(A)  est bien un réel compris de l’intervalle [0 ; 1].
– Si p(B) et p(A) sont non nuls, on a alors :
p(A ∩ B) = pB(A)   × p(B) = pA(B)   × p(A)

4.4.3 Arbres pondérés
 

Exemple 4.13
On peut représenter la situation de l’exemple 4.12 par un arbre pondéré :

– la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut 1 :
                                                 pB(A) + pB(B par Epie Epie