2.4 Continuité

2.4.1 Approche graphique de la continuité

En observant les trois courbes ci-dessous, on remarque que les deux premières peuvent être
tracées « sans lever le crayon » alors que la troisième admet un « saut » à l’abscisse 2. Les deux premières représentent des fonctions dites continues sur l’intervalle [-2; 4] alors que la troisième représente une fonction qui admet une discontinuité en x = 2.

2.4.2 Notion intuitive de la continuité
 

Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa courbe
représentative se trace « d’un trait continu », sans lever le crayon.
Pour tout a ∈ I, si x ∈ I se rapproche de a, alors f(x) peut se rapprocher de f(a) autant qu’on
le souhaite. On écrit :

f est continue en a si limx→afx=f(a)

2.4.3 Fonctions continues
On admet le théorème suivant :
 

Théorème 2.5
Une fonction obtenue par opérations sur les fonctions usuelles est continue sur chaque intervalle
où elle est définie.
Ainsi, les fonctions polynômes, rationnelles et définies par des racines carrées sont continues
sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
 

2.4.4 Partie entière
Un nombre réel est composée d’une partie entière finie (avant la virgule) et d’une partie décimale (après la virgule). La partie entière de 4,65 est 4.
On remarque également que tout nombre réel x appartient à un intervalle du type [n; n + 1[ où n ∈ Z.
 

Définition 2.7
La partie entière de x ∈ R notée E(x) est définie ainsi :
si x ∈ [n; n + 1[ (n ∈ Z), E(x) = n

Exemple 2.8
Ainsi, E(3,14) = 3 car 3,14 ∈ [3; 4[.
Et E(-4,32) = -5 car -4,32 ∈ [-5; -4[.
La représentation graphique de la fonction partie entière x 7→ E(x), pour x ∈ [-2; 3[  est tracée ci-dessous :

2.4.5 Propriété des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. La courbe représentative de f passe par
A(a; f(a)) et B(b; f(b)), et elle se trace « sans lever le crayon ». Ainsi tout nombre m compris
entre f(a) et f(b) est l’ordonnée d’un point de la courbe : il existe donc α ∈ [a; b] tel que
f(α) = m

v

Théorème 2.6 (de la valeur intermédiaire)

Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout m compris entre f (a) et           f (b), l’équation f (x) = m admet une et une seule solution dans l’intervalle  [a ; b].

Remarque 2.2

Si la fonction f est continue mais non strictement monotone sur[a ; b],l’équation f (x) = m admet au moins une solution pour toute valeur de m comprise entre f (a) et f (b), mais elle n’est pas nécessairement unique (voir figure 1 ci-dessus : l’équation a trois solutions). Ce résultat est appelé théorème des valeurs intermédiaires

Remarque 2.3

Par convention, dans un tableau de variation, les flèches obliques traduisent :

---la continuité de la fonction sur l’intervalle considéré,

---la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle.

Exemple 2.9
Soit f la fonction définie sur [0 ; 9] par f(x) = x + 2. Démontrer que l’équation f(x) = 3
admet une unique solution dans [0 ; 9]. La fonction f est strictement croissante sur [0 ; 9] car la fonction racine carrée l’est. Par ailleurs,
f est une fonction continue sur [0 ; 9]. De plus f(0) = 2 et f(9) = 5.

Ainsi, 3 ∈ [f(0) ; f(9)], donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f(x) = 3
admet une et une seule solution dans l’intervalle [0 ; 9].
 

Exemple 2.10
Soit f une fonction définie sur [0 ; 7] dont on donne le tableau de variation :