7.4 Étude d’une fonction composée eu
7.4.1 Dérivée. Variations
Propriété 7.8
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f = eu = exp ◦u est dérivable sur I et pour x ∈ I, f’(x) = u' (x)eu(x).
Exemple 7.2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e2x2−3x. f s’écrit eu avec pour x ∈ R, u(x) = 2x2−3x. La fonction u est dérivable sur R donc f est également dérivable sur R et pour x ∈ R, f ‘(x) = (4x − 3)e2x2−3x.
Remarque 7.2
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc les fonctions u et eu ont les
mêmes variations (voir le théorème 3.3).
7.4.2 Primitives
Propriété 7.9
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit f la fonction définie sur I par
f(x) = u' (x) eu(x) Alors la fonction f admet des primitives sur I et l’une d’entre elles est la fonction F définie sur I par F (x) = eu(x)
Exemple 7.3
Soit f la fonction définie sur R+* par f(x) =-e1xx2
On peut écrire x=-1x2×e1x=u'xeuxavec ux=1x .
Donc f admet pour primitives sur R+* les fonctions Fk définies pour x > 0 par : Fk(x) = e1x +k
7.4.3 Exemple d’étude
Exemple 7.4
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =e-x2 .
1. Étudier les limites de f(x) en -∞ et en +∞.
2. Pour x ∈ R, calculer f' (x) et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Déterminer l’équation de la tangente ∆ à Cf au point A d’abscisse 1.
5. Tracer ∆ et Cf dans un repère.