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Cours de Math terminale ES(A4)

Fonction exponentielle

etude d une fonction composee

7.4 Étude d’une fonction composée eu
 

7.4.1 Dérivée. Variations

 

Propriété 7.8

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction  f = eu = exp ◦u est dérivable sur I et pour x I, f’(x) = u' (x)eu(x).

 

 

Exemple 7.2

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e2x2−3x. f s’écrit eu avec pour x R, u(x) = 2x2−3x. La fonction u est dérivable sur R donc f est également dérivable sur R et pour x R, f  ‘(x) = (4x − 3)e2x2−3x.

 

 

 

 

Remarque 7.2
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc les fonctions u et eu ont les
mêmes variations (voir le théorème 3.3).


7.4.2 Primitives

 

Propriété 7.9                                                                                                                     
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit f la fonction définie sur I par

f(x) = u' (x) eu(x) Alors la fonction f admet des primitives sur I et l’une d’entre elles est la fonction F définie sur I par F (x) = eu(x)

 

 

Exemple 7.3
Soit f  la fonction définie sur R+*  par f(x) =-e1xx2
On peut écrire x=-1x2×e1x=u'xeuxavec ux=1x  .
Donc
f admet pour primitives sur R+* les fonctions Fk  définies pour x > 0 par : Fk(x) = e1x  +k

 

7.4.3 Exemple d’étude
 

Exemple 7.4
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =e-x2 .
1. Étudier les limites de f(x) en -∞ et en +.
2. Pour x
R, calculer f' (x) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Déterminer l’équation de la tangente
à Cf  au point A d’abscisse 1.
5. Tracer
et Cf  dans un repère.

 

 

 

 

par Epie Epie