1. 1. Intersection. Réunion

4.3.1 Événement. Événement contraire
 

Définition 4.2

Soit A un événement d’un univers Ω lié à une expérience aléatoire. On appelle événement contraire de A et on note A l’événement constitué de toutes les éventualités de Ω n’étant pas dans A.

Exemple 4.10
Dans le cas d’un jet de dé à six faces, les événements contraires des événements définis dans l’exemple 4.5 sont : A : « obtenir un chiffre impair » et B  : « obtenir un 4 ou un 5 ».
 

Propriété 4.2
Soit A un événement d’un univers Ω de probabilité p(A). Alors l’événement A  a pour probabilité  1 - p(A).

4.3.2 Intersection. Réunion

Définition 4.3

Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire et P une loi de probabilité sur Ω. Soit A et B deux événements de Ω ;

-l’événement constitué des éventualités appartenant à A et  à B est noté A∩B .

 (on lit « A inter B » ou « A et B ») ;

-l’événement constitué des éventualités appartenant à A ou à B ou aux deux est noté A∪B . (on lit « A union B » ou « A ou B »).

Exemple 4.11
On considère un jeu de 32 cartes. On note A l’événement « obtenir une figure », et B l’événement
« obtenir un trèfle ».
1. Expliciter A ∩ B et A ∪ B.
2. Calculer P(A), P(B), P (A ∩ B) et P (A ∪ B).
3. Calculer P(A) + P(B) puis P (A ∪ B) +  P(A ∩ B).

Resolution
1. A ∩ B : « obtenir une figure trèfle »
A ∪ B : « obtenir une figure ou un trèfle ou une figure trèfle ».
2. P (A) =12/32 = 3/8. P (B) = 8/32 = 1/4.
P (A ∩ B) =3/32. P (A ∪ B) =17/32
3. P (A) + P (B) =38+14 = 58.
P(A ∩ B) + P(A ∪ B) =3/32 +17/32 = 20/32 = 5/8

Propriété 4.3
Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire, et P une loi de probabilité sur Ω. Soit A et B
deux événements de Ω. Alors on a :
                                       P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Interprétation :
En comptant le nombre d’éventualités de A et en ajoutant le nombre d’éventualités de B,
on compte deux fois les éventualités de A ∩ B. D’où le « -P(A ∩ B) » dans la formule de la
propriété 4.3.