7.3 Étude de la fonction exponentielle
 

7.3.1 Limites en +∞ et en -∞

Propriété 7.4

limx→+∞ex=+∞ et limx→-∞ex=0

Démonstration :

 Limite en -∞

limx→0explnx=limx→-∞exp⁡(X)Orexplnx=x donc:limx→0explnx=limx→0x=0 donc : limx→-∞ex=0

Limite en +∞

limx→+∞explnx=limx→+∞exp⁡(X)Orexplnx=x donc:limx→+∞explnx=limx→+∞x=+∞ donc : limx→+∞ex=+∞

7.3.2 Dérivée

Propriété 7.5

La dérivée de la fonction exponentielle sur R est elle-même :

pour tout x ∈ R, on a exp^’(x) = exp(x).

Démonstration :
Soit f  la fonction définie sur R par f(x) = ln(exp(x)).
Pour tout x ∈ R, on a f(x) = x, donc f’(x) = 1. Or en utilisant le théorème 6.1 sur la dérivée
d’une fonction composée avec la fonction ln, on a :
Pour x ∈ R,f'x=exp'(x)exp⁡(x), Ainsi: exp'(x)exp⁡(x)=1 d'où exp'x=expx.

7.3.3 Variations et courbe

Propriété 7.6
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Démonstration:
On a vu que la dérivée de l’exponentielle est elle-même et que l’exponentielle est une fonction strictement positive. Donc la dérivée de l’exponentielle est strictement positive d’où le résultat. On obtient donc le tableau de variation suivant :

Tangente en 0 :
L’équation de la tangente à C_exp au point A d’abscisse 0 est :

y = exp’(0)(x - 0) + exp(0), soit y = x + 1.
 

Courbe représentative :

7.3.4 Quelques limites à connaitre

Propriété 7.7

  On a les limites suivantes :

limx→-∞exx=+∞ ; limx→+∞xex=0 et limx→0ex-1x=1

Démonstration : comme pour la limite de ex  en+∞ , on étudie les variations d’une fonction. Soit donc la fonction g définie sur IR par :

gx=ex-x22

On calcule la dérivée g':g'x=ex-x

 D’après le paragraphe 2.3, on a : ∀x∈IR ex>x donc g'x>0

La fonction g est donc croissante sur IR.

Or g0=1 donc si x>0 alors gx>0.  On en déduit donc que :

pour x>0 gx>0⇔ex>x22⇔exx=x2

On sait que limx→+∞x2=+∞ , par comparaison,on a :

limx→+∞ex