5.1 Primitives d’une fonction
 

5.1.1 Notion de primitive
 

Définition 5.1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que la fonction F est une primitive de f
sur I si F est dérivable sur I et si pour tout x ∈ I, on a F’(x) = f(x).
 

Exemple 5.1
Soit F : x → x², pour x ∈ IR et f : x → 2x pour x ∈ IR.
f et F sont définies sur IR et F est dérivable sur IR. Pour tout x ∈  IR, on a F’(x) = 2x = f(x),
donc F est une primitive de f sur IR.

Exemple 5.2
Déterminer une primitive de f sur I dans les cas suivants :
1. f(x) = 3x² + 3, pour I = IR.
2. f(x) =12x , pour I =IR+*  .
3. f(x) = 0 pour x ∈ IR

Théorème 5.1 (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
 

Remarque 5.1 (notation)
Lorsqu’une fonction est désignée par une lettre minuscule, on note généralement une de ses
primitives par la même lettre majuscule.

5.1.2 Ensemble des primitives d’une fonction
 

Exemple 5.3
Soit F₁ : x → 2x² +3x+4 et F₂ : x → 2x² +3x. Les fonctions F₁ et F₂ sont définies et dérivables
sur IR et on a : F’₁(x) = 4x + 3 et F₂’ (x) = 4x + 3.
Ainsi la fonction f définie par f(x) = 4x + 3 admet (au moins) deux primitives sur IR.
 

Propriété 5.1
f est une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet une primitive F sur I, alors elle. en admet une infinité. Ces primitives s’écrivent toutes sous la forme Fk : x → F(x) + k. Les
fonctions Fk forment l’ensemble des primitives de f

Démonstration :
– Soit k ∈  IR et G définie sur I par G : x → F(x) + k. Montrons que G est une primitive de f :
G est la somme de deux fonctions dérivables sur I : F et la fonction constante égale à k. Elle
est donc dérivable sur I et on a : G’(x) = F’(x) = f(x) pour x ∈ I. Donc G est une primitive
de f.
– Réciproquement, soit G une primitive de f. Montrons qu’il existe k ∈ R tel que pour tout
x ∈ I, on ait G(x) = F(x) + k.
Soit H la fonction définie sur I par H(x) = G(x)-F(x). H est la différence de deux fonctions
dérivables sur I elle est donc dérivable sur I et on a : H’(x) = G’(x)-F’(x) = f(x)-f(x) = 0.
H est une fonction de dérivée nulle sur I, elle est donc constante sur I. Ainsi, il existe k ∈ R
tel que H(x) = k pour tout x ∈ I. Donc pour tout x ∈ I, G(x) - F(x) = k, c’est à dire que
G(x) = F(x) + k. Ainsi toute primitive de G s’écrit sous cette forme.

Remarque 5.2 (autre formulation)
La propriété 5.1, peut aussi s’énoncer comme suit : deux primitives d’une fonction diffèrent
d’une constante.
 

Exemple 5.4
Déterminer toutes les primitives sur R∗ + de f : x → 2x+3+ 12x .
Les primitives de f sont les fonctions Fk  définies par Fk(x) = x² + 3x +x  + k, pour k ∈ R et x>0

5.1.3 Primitive avec condition initiale
 

Propriété 5.2
Soit f une fonction définie sur I admettant des primitives sur I. Soit x0 ∈ I et y0 ∈ R.
Il existe une unique primitive F sur I de la fonction f telle que F(x0) = y0. On dit que F est
la primitive de f sur I qui satisfait à la condition initiale F(x0) = y0.

Démonstration :
Soit G une primitive de f sur I. Toutes les primitives de f sur I s’écrivent : Fk(x) = G(x) + k
où k ∈ R et pour tout x ∈ I.
On a : Fk(x0) = G(x0) + k. Donc Fk(x0) = y0 équivaut à G(x0) + k = y0 ou encore à
k = y0 - G(x0). Il existe donc une unique valeur de k telle que Fk(x0) = y0. Cette valeur correspond à une unique primitive de f sur I.

Exemple 5.5
Soit f  la fonction définie sur R par f(x) = 4x - 1.
1. Déterminer toutes les primitives de f sur R.
2. Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule pour x = 1.
1. Les primitives de f sur R sont les fonctions F_k, k ∈ R définies par F_k(x) = 2x² - x + k.
2. La primitive de f qui s’annule pour x = 1 est la fonction F_k qui vérifie F_k(1) = 0. On
a donc à résoudre : 2 × 1² - 1 + k = 0, qui admet pour solution k = -1. La fonction
cherchée est donc F_-1 définie pour x ∈ R par F_-1(x) = 2x² - x - 1.