6.2 Propriétés algébriques
6.2.1 logarithme d’un produit
Propriété 6.4
Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors on a :
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
démonstration :
Soit f la fonction définie sur R+* par f(x) = ln(ax) - ln(x) (où a > 0).
f est dérivable sur R+* comme composée de fonctions et pour x > 0, on a :
f'x=1ax×a-1x=0, Donc f est constante
Donc pour tout x > 0, f(x) = f(1) = ln(a) - ln(1) = ln(a).
En prenant x = b, on obtient : f(b) = ln(a) donc ln(ab) - ln(b) = ln(a). D’où la propriété.
Remarque 6.2
Attention, a et b doivent tous les deux être strictement positifs pour pouvoir appliquer cette
propriété:
si a = -3 et b = -2, alors ln(ab) existe car ab = (-3)×(-2) = 6 > 0 mais ln(a)+ln(b) n’existe
pas car a et b sont négatifs.
6.2.2 logarithme d’un inverse, d’un quotient
Propriété 6.5
Pour tout a > 0, ln (1a ) = - ln(a).
Démonstration :
Pour tout a>0 on a : ln(a)+ln(1/a) = ln(a×1a) d’après la prop. 6.4
= ln(aa)
=ln(1)
= 0
Donc ln (1/a) = 0 – ln(a) = -ln(a)
Propriété 6.6
Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors :
lnab=lna-lnb
Démonstration :
Pour tout a > 0 et tout b > 0, on a :
lnab=ln(a×1b)
=lna+ln(1b)
=lna-ln(b)
6.2.3 Logarithme d’une puissance, d’une racine
Propriété 6.7
Si a est un réel strictement positif et n un entier relatif, alors :
ln (an) = n ln(a)
Démonstration :
– Si n = 0, alors ln(a0) = ln(1) = 0 = 0 × ln(a).
– Si n > 0, alors ln (an) = ln (a × · · · × a) = ln(a) + · · · + ln(a) = n ln(a).
– Si n < 0, on pose m = -n > 0. On a alors ln (an) = ln(1am ) = - ln(am) = -m ln(a) = n ln(a).
Propriété 6.8
Si a est un réel strictement positif, alors ln (a ) = 1/2ln(a).
Démonstration :
a > 0 donc a = (a )2. Donc ln(a) = ln ((a )2) = 2 ln (a ).
Donc ln (a ) =1/2ln(a)