6.2 Propriétés algébriques
 

6.2.1 logarithme d’un produit

Propriété 6.4

Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors on a :

                                                  ln(ab) = ln(a) + ln(b)

démonstration :
Soit f la fonction définie sur R+*  par f(x) = ln(ax) - ln(x) (où a > 0).
f est dérivable sur R+*  comme composée de fonctions et pour x > 0, on a :

f'x=1ax×a-1x=0, Donc f est constante
Donc pour tout x > 0, f(x) = f(1) = ln(a) - ln(1) = ln(a).
En prenant x = b, on obtient : f(b) = ln(a) donc ln(ab) - ln(b) = ln(a). D’où la propriété.

Remarque 6.2
Attention, a et b doivent tous les deux être strictement positifs pour pouvoir appliquer cette
propriété:
si a = -3 et b = -2, alors ln(ab) existe car ab = (-3)×(-2) = 6 > 0 mais ln(a)+ln(b) n’existe
pas car a et b sont négatifs.

6.2.2 logarithme d’un inverse, d’un quotient
 

Propriété 6.5                                                                                                                 
Pour tout a > 0, ln (1a ) = - ln(a).

Démonstration :

Pour tout a>0 on a : ln(a)+ln(1/a) = ln(a×1a)  d’après la prop. 6.4

                                                      = ln(aa)

                                                      =ln(1)

                                                      = 0

Donc ln (1/a) = 0 – ln(a) = -ln(a)

Propriété 6.6                                                                                                                  
Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors :

lnab=lna-lnb

Démonstration :
Pour tout a > 0 et tout b > 0, on a :

                                                       lnab=ln⁡(a×1b)

=lna+ln⁡(1b)

=lna-ln⁡(b)

6.2.3 Logarithme d’une puissance, d’une racine

Propriété 6.7
Si a est un réel strictement positif et n un entier relatif, alors :
                           ln (aⁿ) = n ln(a)
 

Démonstration :
– Si n = 0, alors ln(a⁰) = ln(1) = 0 = 0 × ln(a).
– Si n > 0, alors ln (aⁿ) = ln (a × · · · × a) = ln(a) + · · · + ln(a) = n ln(a).
– Si n < 0, on pose m = -n > 0. On a alors ln (aⁿ) = ln(1am ) = - ln(a^m) = -m ln(a) = n ln(a).

Propriété 6.8
Si a est un réel strictement positif, alors ln (a ) = 1/2ln(a).

Démonstration :
a > 0 donc a = (a )². Donc ln(a) = ln ((a )²) = 2 ln (a ).
Donc ln (a ) =1/2ln(a)