6.3 Étude de la fonction ln

6.3.1 Étude des limites en +∞ et en 0
 

On a les résultats suivants :

                                                limx→+∞lnx=+∞  et limx→0+lnx=-∞  

Démonstration :
Il s’agit de montrer que pour tout M > 0, aussi grand soit-il, il existe une valeur α > 0 telle
que pour tous les x > α, ln(x) > M.
Pour tout M > 0 il existe un entier n tel que n >Mln⁡(10)  (Il suffit de calculer Mln⁡(10)  et de prendre
la valeur arrondie à l’unité par excès).
En prenant α = 10ⁿ, on a :

                                  donc ln(x) >Mln⁡(10)  × ln(10) car n > Mln⁡(10)
                                  donc ln(x) > M

pour la limite en 0, on pose X=1x  on a alors :

limx→0+lnx=limX→+∞ln1X=limX→+∞-lnX=-∞

Conséquence graphique :
L’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln.

6.3.2 Courbe représentative
On peut compléter le tableau de variation de la fonction ln :

Étude de la tangente à Cln en 1 : On a f(1) = 0 et f^’ (1) = 11  = 1. Donc l’équation de la tangente est : T1 : y = x - 1
D’après ses variations la fonction ln est continue et strictement croissante sur R+*  et de plus,
ln( R+*)  = R (d’après les limites en 0 et +∞). Or 1 ∈ R donc d’après le théorème de la valeur
intermédiaire (Théorème 2.6 page 21), l’équation ln(x) = 1 admet une unique solution sur
R+* : c’est l’abscisse du point de Cln qui a pour ordonnée 1. Ce nombre est noté e et il vaut
environ 2,718.

6.3.3 Quelques limites à connaitre

Propriété 6.9

limx→+∞lnxx=0 et limx→0+xlnx=0,  limx→1lnxx-1=1

Démonstration :
On pose g : x → ln(x) - x . La fonction g est définie et dérivable sur R+* .
Pour x > 0, on a g’(x) = 1x-12x=2-x2x  . Dressons le tableau de variation de la fonction g :

On a g(4) = ln(4) - 4  ≈ -0,61 (calculatrice), donc d’après le tableau pour tout x > 0, on a
ln x - x  < 0 ; donc ln x < x . En divisant les deux membres de cette inéquation par x > 0,
on obtient :
lnxx<xx<1x
Or pour x > 1 (cas qui nous intéresse puisqu’on cherche une limite en +∞),  lnxx  > 0. On a
donc pour x > 1 :

Donc d’après le théorème d’encadrement (théorème 2.4 page 19), on obtient :

0<lnxx<xx  et limx→+∞1x=0

Donc d’après le théorème d’encadrement, on obtient :

limx→+∞lnxx=0

6.3.4 Équation ln x = m
 

On a vu que la fonction ln est strictement croissante et continue sur R+* . De plus,