5.2 Recherche de primitives
 

5.2.1 Primitives de f + g et de λf pour λ réel

Propriété 5.3

Soit λ ∈ R. Si f et g sont deux fonctions définies sur I admettant respectivement F et G pour primitives sur I, alors

-la fonction f + g admet des primitives sur I et l’une d’elles est la fonction F + G.

-la fonction  λf admet des primitives sur I et l’une d’elles est la fonction λF .

Démonstration :
On note H la fonction définie sur I par H(x) = F(x) + G(x). H est dérivable sur I comme
somme de fonctions dérivables sur I et on a : H’(x) = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x). Ainsi f + g
admet la fonction F + G comme primitive, elle en admet donc une infinité.

5.2.2 Primitives de fonctions usuelles
En écrivant le tableau des dérivées « à l’envers », on obtient le tableau suivant où k et λ sont
des réels quelconques, n ∈ IN^*

5.2.3 Autres formules
Soit I un intervalle de R. Soit n ∈ N∗ et u une fonction dérivable sur I.
– La fonction u × u’ admet 12u2  pour primitive sur I.
– La fonction uⁿ × u’ admet  1n+1un+1  pour primitive sur I.
– La fonction u'un  admet -1-n-1un-1  pour primitive (où n ≥ 2 et I un intervalle sur lequel u ne
s’annule pas).
– La fonction u'u  0 admet 2u  pour primitive sur I (où I est un intervalle sur lequel u est
strictement positive).

Exemple 5.6
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (3x² +x+ 1)²(6x+ 1). f  s’écrit sous la forme u² × u’
avec u la fonction définie par u(x) = 3x² + x + 1. Donc une primitive de f s’écrit 1/3u³ ; c’est à
dire que les primitives de f sont les fonctions F_k où k ∈ R définies par :
F_k(x) = 1/3(3x² + x + 1)³ + k

Exemple 5.7
Soit g la fonction définie sur R par  gx=2x+1x2+x+1   La fonction g s’écrit g=u'u   où u est définie par u(x) = x² + x + 1. (En étudiant u, on remarquera que pour tout x ∈ R, u(x) > 0). Ainsi les primitives de g sont les fonctions G_k où k ∈ R définies par :

G_k(x) = 2x2+x+1  +k