7.1 La fonction exponentielle

Définition

On a vu dans le chapitre précédent que l’équation ln(x) = m admet une unique solution pour tout m ∈ R et cette solution est un réel strictement positif. Autrement dit, pour tout     x ∈ R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln(y).

Définition 7.1

La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui, à chaque réel x associe le réel strictement positif y vérifiant x = ln(y). La fonction exponentielle est notée exp.

Exemple 7.1
– On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1.
– On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, où e est le réel défini au chapitre 6 comme étant l’antécédent
de 1 par la fonction ln. e valant environ 2,718

Remarque 7.1
On a vu que pour n ∈ Z, ln(eⁿ) = n × ln(e) = n. Donc en utilisant la définition de la fonction
exponentielle, on a : pour tout n ∈ Z, exp(n) = eⁿ. Par convention, on généralise cette notation
à tous les nombres : pour x ∈ R on note ex l’image de x par la fonction exponentielle.
Pour x ∈ R, on a : e^x = exp(x)

7.1.2 Premières propriétés

Propriété 7.1

1-Pour tout x ∈ R, on a ex > 0.

2-Pour tout y ∈ R+* , ex  = y si et seulement si x = ln(y).

3-Pour tout x ∈ R, on a ln (ex) = x.

4-Pour tout x ∈ R+* , on a eln(x)  = x.

Démonstration:
(1) D’après la définition de la fonction exponentielle, ex est le réel strictement positif y tel que
x = ln(y). Donc e^x = y > 0.

(2) Même démonstration que le point précédent.
(3) Soit x ∈ R. D’après la définition 7.1, on a e^x = y avec ln(y) = x.
Donc ln(e^x) = ln(y) = x.
(4) On pose y = ln(x). On a e^y = z > 0 avec ln(z) = y = ln(x). Or x > 0 et z > 0 donc,
ln(z) = ln(x) si et seulement si x = z. Donc x = z = e^y = e^ln(x).

Propriété 7.2                                                                                                              
 

Pour tous réels a et b on a :
e^a = e^b si et seulement si a = b.
e^a < e^b si et seulement si a < b.

Démonstration :
On pose ya  = ea   et yb  = eb  les réels strictement positifs tels que ln⁡(ya)   = a et ln⁡(yb)   = b. On a
donc :

7.1.3 Courbe représentative
 

Propriété 7.3 (admise)
 

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonction logarithme népérien et
exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Dans le repère orthonormé ci-dessus, le point M est le point de Cln d’abscisse y. Ses coordonnées sont donc M(y ; ln(y)).
Son symétrique par rapport à ∆ : y = x est le point N de coordonnées N(ln(y) ; y). On a donc
y_N = exp(x_N) car exp(x_N) = exp(ln(y)) = y d’après la propriété 7.1. Donc N ∈ Cexp.