4.5 Indépendance. Formule des probabilités totales

4.5.1 Indépendance
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un d’entre eux n’influence pas les chances que l’autre se réalise. Mathématiquement, on traduit cela par la définition suivante :
 

Définition 4.5
On considère A et B deux événements d’une expérience aléatoire d’univers Ω. Les événements A et B sont dits indépendants si :
                                                 p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Remarque 4.3
On considère A et B deux événements d’une expérience aléatoire d’univers Ω tels que A, A , B
et B  soient de probabilité non nulle. On alors :
– si A et B sont indépendants, alors :

pBA=p(A∩B)p(B)=p(A) × p(B)p(B)=p(A)

et de même, on a pA(B) = p(B) ;
– si A et B sont indépendants, alors pB (A) = p(A) et pA (B) = p(B).
En effet : on a A ∩ B  = A\ (A ∩ B) (faire un diagramme). Donc :

pBA=pA=p(A ∩ B)p(B)=PA-p(A ∩ B)1-p(B)=pA-p(A)×p(B))1-p(B)==p(A)(1-pB)1-p(B)=p(A)

Exemple 4.14
On choisit au hasard une carte dans un jeu de trente-deux cartes.
On note T l’événement « c’est un trèfle », et D l’événement « c’est une dame ».
p(T ∩ D) =1/32 (il y a une dame de trèfle dans le jeu).
p(T) =8/32 =1/4(il y a huit trèfles dans le jeu).
p(D) =4/32 =1/8 (il y a quatre dames dans le jeu).
On a donc p(T)×p(D) =1/4×1/8 = 1/32 = p(T ∩D). Donc les événements D et T sont indépendants. Intuitivement on comprend aisément que si on tire une carte dans le jeu, la chance d’obtenir une dame sachant qu’on a trèfle est la même que celle d’obtenir une dame sans rien savoir sur la carte tirée.

4.5.2 Formule des probabilités totales
 

Définition 4.6
Des événements forment une partition de l’univers Ω si les deux conditions suivantes sont
réalisées :
– ils sont deux à deux disjoints ;
– leur réunion forme Ω.
Cela signifie que chaque éventualité de Ω appartient à un et un seul de ces événements.

Exemple 4.15
Dans un jeu de cartes, on tire une carte au hasard. On note P, T, Ca et Co les événements
« obtenir un pique, un trèfle, un carreau et un coeur ».
Les événements P, T, Ca et Co forment une partition de l’univers.

Propriété 4.4 (Formule des probabilités totales)
On considère une expérience aléatoire d’univers Ω. Si B1, B2, . . ., Bn forment une partition de
Ω, alors pour tout événement A de Ω, on a :
p(A) = p(A ∩ B1) + p(A ∩ B2) + · · · + p(A ∩ Bn)
Avec l’arbre vu dans les règles de l’arbre pondéré (page 34), l’événement A est la réunion de
deux chemins : p(A) est la somme des probabilités de ces chemins :
p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B )

Exemple 4.16
On reprend les données de l’exemple 4.12. On a alors :
p(M) = p(F ∩ M) + p(G ∩ M) = 0,52 × 12/52+ 0,48 ×16/48 = 0,12 + 0,16 = 0,28

4.6 Expériences indépendantes
Des expériences aléatoires successives sont indépendantes si le résultat de l’une d’elles n’influe pas sur le résultat des autres.

Propriété 4.5
Dans le cas d’une succession d’expériences aléatoires indépendantes, la probabilité d’obtenir
une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat élémentaire de cette
liste.

Exemple 4.17
On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces. On obtient ainsi un nombre à trois
chiffres : le premir lancer nous donne le chiffre des centaines, le deuxième lancer le chiffre des dizaine et le troisième lancer le chiffre des unités.
Chacun des lancers de dé est indépendant, donc la probablité d’obtenir le nombre 421 est :
p(421) =1/6 ×1/6 ×1/6 = 1/216.
Attention : ce n’est pas la probabilité d’obtenir « 421 » en jetant trois dés simultanément car
dans ce cas, l’ordre n’a pas d’importance (« 421 », « 214 », « 412 », . . . ne forment qu’une seule et même combinaison).