3.1.3 Variations d’une fonction composée
Théorème 3.3
Soit u et g deux fonctions telles que g ◦ u soit définie sur I avec u et g monotones sur leur ensemble de définition.
-Si u et g ont le même sens de variation, alors g ◦ u est croissante sur I.
-Si u et g ont des variations de sens contraires alors g ◦ u est décroissante sur I.
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Démonstration :
si u et g sont croissantes.
soit a et b dans I avec a < b.
u est croissante donc
u(a) < u(b).
g est croissante donc
g(u(a)) < g(u(b)).
Donc g ◦ u est croissante
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si u et g sont décroissantes.
soit a et b dans I avec a < b.
u est décroissante donc
u(a) > u(b).
g est décroissante donc
g(u(a)) < g(u(b)).
Donc g ◦ u est croissante.
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si u est croissante et g dé-
croissante.
soit a et b dans I avec a < b.
u est croissante donc
u(a) < u(b).
g est décroissante donc
g(u(a)) > g(u(b)).
Donc g ◦ u est décroissante.
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