3.2 Dérivation

3.2.1 Théorème fondamental
 

Définition 3.1                                                                                                      
Soit f une fonction définie sur I et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a si la limite lorsque
x tend vers a du quotient  fx-fax-a  est finie. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a
qu’on note f(a)

f'a=limx→afx-f(a)x-a lorsque cette limite existe.

Si f est dérivable pour tout a de I, on dit que f est dérivable sur I. Graphiquement le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf  au point d’abscisse a.

Conséquence :
Soit f une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle I. Soit a ∈ I. La tangente
Ta à la courbe Cf a pour équation :

Ta: y = f’(a) (x - a) + f(a)

Exemple 3.3
Soit f  la fonction définie et dérivable sur IR par f(x) = x² - 3x + 1. Déterminons l’équation de
la tangente à Cf au point A d’abscisse 2 :

On a : f’(x) = 2x - 3, donc f ‘(2) = 2 × 2 - 3 = 1. De plus, f(2) = 2² - 3 × 2 + 1 = -1. Donc
la tangente T2 à la courbe Cf au point d’abscisse 2 a pour équation :
                            T2 : y = 1 × (x - 2) + (-1) c’est à dire : Ta : y = x – 3

Théorème 3.4 (admis)

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

-Si f ^‘(x) > 0 sur I, alors f est croissante sur I.

-Si f ^‘(x) < 0 sur I, alors f est décroissante sur I.

-Si f ^‘(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

3.2.2 Quelques formules de dérivées
 

Dans la suite de ce formulaire, k est un réel quelconque fixé et n est un entier naturel non nul.

– Si f est dérivable sur I, alors, kf est dérivable sur I, et (kf)’ = kf’.
– Si u et v sont dérivables sur I, alors u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.
– Si u et v sont dérivables sur I, alors uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
– Si u et v sont dérivables sur I, avec pour x ∈ I, v(x) ≠ 0, alors uv est dérivable sur I et

uv'=u'v-v'uv2

3.2.3 Extremum

Théorème 3.5
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et c ∈ I.
Si la dérivée de f s’annule en c en changeant de signe, alors f admet un extremum en c

3.2.4 Un exemple : fonction de coût
Le coût total de production d’un bien en quantité q est la somme des coûts de fabrication. La
fonction de coût total de production est toujours croissante. On note CT(q) le coût total de production pour une quantité q de biens produite. En notant Cf la courbe représentant la fonction de coût total, CT(q) est l’ordonnée du point de Cf qui a pour abscisse q.
Les coûts fixes sont les coûts lorsque la quantité produite est nulle : il s’agit de CT(0).
 

Le coût moyen est le quotient du coût total par la quantité produite : CM(q) =CT(q)q
Le coût marginal qui est le coût de la dernière unité produite est assimilé à la dérivée du coût
total : Cm(q) = CT’(q).

Lectures graphiques :
Sur la figure ci-après, on a tracé une courbe Cf  de coût total. M est un point de cette courbe.
L’abscisse de M est une quantité produite q ; son ordonnée est le coût total correspondant à
cette quantité produite.
La pente de la droite (OM), c’est à dire son coefficient directeur, est le coût moyen pour la
quantité q produite. On peut dresser facilement le tableau de variation de la fonction CM : coût moyen de production. En partant de l’abscisse 0, la pente de la droite (OM) décroit jusqu’à  x = 6 (en effet la droite est de plus en plus « horizontale »), puis la pente de la droite augmente (la droite est de plus en plus « verticale »).

La pente de la droite T, tangente à la courbe en M, est le coût marginal.

3.2.5 Dérivée d’une fonction composée

Théorème 3.6

Soit u et g deux fonctions telles que f = g ◦ u existe sur un intervalle I.

Si u est dérivable en x₀ et si g est dérivable en y₀ = u(x₀), alors f est dérivable en x₀ et on a :

f ^‘(x₀) = g^’(u(x₀)) × u^’(x₀)

En généralisant à tout x₀ de I, on obtient : si u et g sont dérivables sur leurs ensembles de définition respectifs, alors f est dérivable sur I et      on a:

(g ◦ u)^’ = g^’(u) × u^’

Exemple 3.4
Soit f  la fonction définie sur IR par f(x) = (2x+3)². Cette fonction est la composée de g définie
par g(x) = x³ et de u définie par u(x) = 2x + 3 : f(x) = g (u(x)).
u et g sont dérivables sur IR donc f est dérivable sur IR. On a :
pour x ∈ IR, g’(x) = 3x² et u’(x) = 2
Et donc, f’(x) = g’(u(x)) × u’(x) = 3(2x + 3)² × 2 = 6(2x + 3)²

Application : des nouvelles formules de dérivées.
Si f est une fonction qui s’écrit sous la forme f = u ⁿ où n ∈ N∗, alors f’ = n ×fn-1 × f’.              (u  étant une fonction dérivable)
Si f est une fonction qui s’écrit sous la forme f = u, alors f'=u'2u (u étant une fonction
dérivable strictement positive)
Si f est une fonction qui s’écrit sous la forme f=1u, alors f'=u'u2. (u étant une fonction
dérivable qui ne s’annule pas)