Cours de Math terminale S
Derivation et fonction derivee
derive des fonctions usuellesII-Dérivées des fonctions usuelles
2.1) Dérivées des fonctions simples
Soit f une fonction définie sur ℝ , Df son domaine de définition et Df ' son domaine
de dérivabilité :
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Df |
Fonctions simples |
Fonctions dérivées |
Df |
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ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ |
f (x) = k f (x) = x f (x) = ax+b f (x) = x2 f (x) = x3, f (x) = x n |
f '(x) = 0 f '(x) = 1 f (x) = a f ' (x) = 2x f (x) = 3x2, f (x) = n x n-1 |
ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ |
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[0; +∞[ ℝ∖{0} |
f(x)=x fx=1/x
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fx=1/2x
f'x=1/x2 |
]0; +∞[
ℝ∖{0} |
Pour être complet, on peut rajouter les dérivées des fonctions de référence suivantes. Les démonstrations serons faites dans les chapitres respectifs :
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Df |
Fonctions simples |
Fonctions dérivées |
Df |
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ℝ ℝ ℝ ]0;+∞[ |
f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = ex f (x) = ln x |
f '(x) = cos x f '(x) = - sin x f (x) = ex f '(x)=1/x |
ℝ ℝ ℝ
]0;+∞[ |
2.2) Dérivées des fonctions composées
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I de ℝ
et k ∈ℝ. Alors, les dérivées des fonctions composées peuvent se « déduire » facilement des dérivées des fonctions simples par «multiplication par u' »
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Fonctions simples |
Fonctions dérivées |
Fonctions composées |
Fonctions dérivées |
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f (x) = k f (x) = x f (x) = ax+b f (x) = x2 f (x) = x3, f (x) = x n f (x)= x f (x)=1/x |
f '(x) = 0 f '(x) = 1 f (x) = a f ' (x) = 2x f (x) = 3x2, f (x) = n x n-1
f '(x)=1/2x
f '(x)=1/ x2 |
u + v k.u u v u2 u3 u n u
1/v; v(x)≠0 u v |
u' + v' k.u' u'v + uv' 2 u' u 3 u' u2 n u' u n-1
u’/2u v(x)≠0 - v'/ v2 u'v−uv' v2 |
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f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = ex f (x) = ln x ; x >0 |
f '(x) = cos x f '(x) = - sin x f (x) = ex
f '(x)=1/x; x>0
x |
sin(u) cos(u) exp(u) ln(u) ; u(x) > 0 |
u' cos(u) - u' sin(u) u' exp(u)
u' /u; u(x) > 0
|
Plus généralement, soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ et prenant ses valeurs dans un intervalle J de ℝ . Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle J de ℝ Alors la fonction f o u est dérivable sur I et
[ f (u) ] ' = u ' x f '(u).
Autrement dit : Pour tout x∈I : [f (u) ] '(x) = u '(x) x f ' ( u(x) )
2.2) Démonstrations
a) Exemple type 1. Fonction racine carrée de u.
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I de
ℝ . Alors, la fonction définie pour tout x∈I par : f (x)= u(x)
est dérivable en
tout point x∈I où u(x)>0 et :
f'x=u'(x)2u(x)
On fera une étude particulière de la dérivée aux points a∈ I où u(a)=0
Démonstration.
Pour cela on calcule d'abord le taux d'accroissement. Pour tout h∈ℝ∖{0} on a :
fx+h-f(x)h=ux+h-u(x)h
on multiplie par une quantité conjugué.
= ux+h-u(x)ux+h+u(x)ux+h+u(x)
= ux+h-u(x)hux+h+u(x)
= ux+h-u(x)h ×1ux+h+u(x)
Or, d'une part, la fonction u est dérivable en x, donc : limh→0ux+h-u(x)h=u'(x)
Et, d'autre part, la fonction u étant dérivable en x, elle donc est continue en x. Comme la fonction racine carrée est aussi continue sur son domaine de définition, la fonction composée x→u(x)
est aussi continue en x.
Donc : limh→0ux+h+u(x)=2u(x)
par conséquent, par produit des limites, on a limh→0fa+h-f(a)h=u'(x)2u(x)
ce qui montre le fonction x→fx=ux
est dérivable en tout point x∈I tel que u(x)>0 et :
f'x=u'(x)2u(x)
2.2 c) Exemples de calcul des dérivées
Exemple 1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°) f ( x)=( x3+5 x−1)4 2°) g ( x)=x2-3
Ex.1°) f ( x) = ( x3+5 x−1)4. f est définie sur ℝ .
On pose : f ( x)=(u( x))4 avec u( x)= x3+5 x−1
u est dérivable sur ℝ et u ' ( x)=3 x2+5.
Donc f est dérivable sur ℝ et f ' ( x) = u ' ( x)×(u ( x))3 f '(x)=(3x2+5)×(x3+5x−1)3
2°) . g(x)= x2-3
. g est définie sur D =]-∞;- 3
]∪[ 3 ;+∞[ .
On pose : g(x)= u(x) vec u(x)= x2-3
. u est dérivable sur I et u '(x)=2 x.
u(x)>0 si set seulement si x ∈ I = ]-∞;- 3 ]∪[ 3 ;+∞[ .
Donc g est dérivable sur]-∞;- 3 ]∪[ 3 ;+∞[ et
g'x=u'x2ux=2x2x2-3=xx2-3
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
1) 2)
3)
4) 5)
.
1) f1x=5ux 
avec ux=x3→u'x=3x2
Donc :.f1'x=5u'x= 5×3x2=
15x2
2) f2x=ux+v(x) 
avec ux=3x2 par Epie Epie