1 Fonction logarithme néperien

1. 1. Définition

Définition :

On appelle fonction logarithme népérien notée ln , la fonction de 0;+∞  sur ℝ telle que :

x=ey ⇔y=lnx

On dit que le fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonction continue, strictement croissante à valeur dans ]0 ; +∞  [, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation x = e^y, d’inconnue y avec x ∈ ]0; +∞  [, admet une unique solution ln x.

Conséquence On a les relations suivantes : ln1= 0 et ln e =1 ainsi que

∀x∈ R , lnex=x  et ∀x∈0,+∞, elnx=x

1. 2. Répresentation

Démonstration : On note C_ln et C_exp les courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

Soit M(x; y) un point de C_ln avec x∈  ]0; +∞[  et y ∈ R , donc y  = ln x. On a alors x = e^y, donc le point M’ (y, x) est un point de C_exp. Les courbes C_ln et C_exp sont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation y = x.

1.3      Variation de la fonction logarithme

Théorème 2 :

La fonction ln est strictement croissante sur R+*

Démonstration : Soit deux réels a et b strictement positifs et a < b alors on
peut écrire :

a < b ⇔ elna  < elna

comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a : ln a < ln b
La fonction logarithme est donc strictement croissante.

Remarque : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéquations. On veillera à mettre l’équation ou l’inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l’équation ou de l’inéquation.

Exemples :

• Résoudre ln(2 - 2x) = 1.

On met l’équation sous la forme : ln(2 - 2x) = ln e
l’équation est valide si, et seulement si, 2 - 2x > 0 c’est à dire x < 1
On a alors : x < 1 et 2 - 2x = e  soit x=2-e2  

On a 2-e2<1 car 2-e2≈ -0.36

On conclut alors : s=2-e2

• Résoudre ln(2x + 1) < -1

On met l’inéquation sous la forme : ln(2x + 1) < lne-1
L’inéquation est valide si, et seulement si, 2x + 1 > 0 soit x>-12

On a alors : x>-12  et  2x + 1 < e-1  soit x<e-1-12

On a : e-1-12=1-e2e≈-0,32  donc -12<x<1-e2e

On conclut par : s=-12; 1-e2e