Cours de Math terminale S
Barycentres
generalites sur les barycentres
Point pondéré
Définition
On appelle point pondéré ou point massif le couple (A;a) où A est un point du plan ou de l'espace et a un réel.
Barycentre de deux points pondérés
Définition
Soient A et B deux points de l'espace.
On appelle G le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) avec a + b 0 le point défini par la relation a + b =
Construction :
Soit G le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) avec a + b 0.
On utilise une décomposition par la relation de Chasles :
· Vu de A, on a successivement a + b =
a + b =
+ b =
d'où, puisque a + b 0, =
et G est alors l'unique point défini par cette relation vectorielle.
· Vu de B, on obtient de même =
· Vu d'un point O quelconque de l'espace, on a : a + b =
a + b =
soit + a + b =
soit encore, = +
Remarques
Dans le cas particulier où G est le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;a) où a 0, on dit que G est l'isobarycentre de A et B.
Comme = = , l'isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB].
2) Coordonnées du barycentre
Propriété
Soient deux points A et B du plan de coordonnées A(xA;yA) et B(xB;yB).
Le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) avec a + b 0 est le point G de coordonnées
xG = yG =
Dans le cas où les points A et B sont deux points de l'espace et en supposant leurs coordonnées respectives égales à (xA;yA;zA) et (xB;yB;zB), il suffit d'ajouter la troisième coordonnée zG =
Démonstration : la construction "vu de O" permet de mettre en évidence les coordonnées du point G dans un repère d'origine O.
On utilisera pour cela le repère dans le plan et le repère ( O;,, ) dans l'espace.
Remarque :
Dans le cas du plan complexe, si on appelle zG l'affixe du barycentre G et zA et zB celles de A et B, on a :
z =
3) homogénéité du barycentre
Propriété
Soient A et B deux points du plan ou de l'espace.
Soit G le barycentre des points pondérés (A;a) et (B; b) avec a + b 0.
Pour tout réel k non nul, G est encore le barycentre des points pondérés (A;ka) et (B;kb).
Démonstration : Si G est le barycentre de {(A;a);(B; b)} avec a + b 0
alors a + b = et a + b 0
k = et k(a + b) 0
(ka) + (kb) = et ka + kb 0 car k 0
et G est également barycentre de {(A;ka);(B;kb)}.
4) position du barycentre
Nous avons vu que pour tous points A et B de l'espace et si G est le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b) avec a + b 0, = . Les vecteurs et sont colinéaires et le point G se trouve sur (AB).
5) Réduction vectorielle
théorème
Soient A et B deux points du plan ou de l'espace et G le barycentre des points pondérés (A;a) et (B; b) avec a + b 0.
Alors, pour tout point M de l'espace, a + b = (a + b)
démonstration : Il suffit là encore de considérer la construction vu d'un point M quelconque.
remarque : Cette dernière propriété permet de retrouver les résultats précédents :
· En considérant M = G dans l'égalité, on trouve a + b = (a + b) =
· En considérant M = A, on trouve a + b = (a + b) soit =
Barycentre de 3 points
Définition
Soient A, B et C trois points du plan ou de l'espace affectés des coefficients respectifs a; b et c, avec a + b + c 0.
Le barycentre G des points pondérés (A;a), (B;b) et (C;c) est défini de manière analogue par
a + b + c =
Première Construction :
En utilisant, comme pour le barycentre de deux points, la relation de Chasles avec différents points de vue, on trouve :
Vu de A, = +
Vu de O, un point de l'espace : = + +
2) Propriétés
Le barycentre de trois points vérifie les mêmes propriétés que le barycentre de 2 points :
· homogénéité du barycentre : le barycentre des points pondérés (A;a), (B;b) et (C;c) où a + b + c 0 est également le barycentre des points pondérés (A;ka), (B;kb) et (C;kc) pour tout k 0.
· L'isobarycentre de trois points A, B et C étant le point vérifiant a + b + c = , c'est le centre de gravité du triangle ABC.
· réduction vectorielle :
pour tout point M du plan ou de l'espace, a + b + c = (a + b + c)
· Le point G a pour coordonnées, dans un repère ( O,,,) de l'espace :
3) Associativité du barycentre
Propriété
Soit G le barycentre des points pondérés (A;a), (B;b) et (C;c) où a + b + c 0. Il existe alors au moins deux coefficients dont la somme est non nulle. Prenons a + b 0 par exemple.
Soit H le barycentre (dit partiel) de (A;a) et (B;b).
G est alors le barycentre de (H;a + b) et (C;c)
Démonstration : Soit G le barycentre de (A;a), (B;b) et (C;c) où a + b + c 0
alors a + b + c = (1)
Comme H est le barycentre du système de points pondérés (A;a) et (B;b) avec a + b 0; on a, vu du point G, = + soit a + b = (a + b) (2)
La soustraction de (2) à (1) permet d'obtenir (a + b) + c = avec (a + b) + c 0 et G est le barycentre de (H;a + b) et (C;c).
4) Coplanarité
Propriété
Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace.
Le barycentre G des points pondérés (A;a), (B;b) et (C;c) où a + b + c 0 est un point du plan défini par les trois points A, B et C.
Démonstration : Comme les trois points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un unique plan (P). Les vecteurs et n'étant pas colinéaires, ils définissent une base de ce plan.
Vu de A, le barycentre G des points pondérés (A;a), (B;b) et (C;c) se traduit par
= +
Comme le vecteur s'exprime en fonction des vecteurs et , en utilisant les résultats de coplanarité étudiés dans le chapitre sur le calcul vectoriel, ces trois vecteurs sont coplanaires et les points A, B, C et G sont coplanaires.
Barycentre de 4 points ou plus
De la même manière, on étend à quatre points et plus les définitions vues pour le barycentre d'un système pondérés à 3 points :
Définition
Le barycentre des n points pondérés (A1,a1), (A2,a2), …, (An,an) où ¹ 0 est l'unique point G défini par =
En particulier, la propriété d'associativité sera utile pour la construction du barycentre
Remarque importante :
Si = 0 alors le vecteur est indépendant du point M ; il existe donc un vecteur constant tel que = .