II-LIMITE EN UN REEL

 Soit x0  un réel

1. LIMITE INFINIE

On dit que f(x)  tend vers +∞  quand x  tend vers x0  lorsque tout intervalle A,+∞   contient toutes les valeurs de f(x)  pour x  suffisamment proche de x0 .


On note :

Par exemple on a :

Concernant l’interpretation graphique de cette limite infinie en un réel, si :

Alors la courbe (𝒞) admet une asymptote verticale d’équation x=x0  (ou seulement une limite à droite ou à gauche).

Illustrons les propos précédents avec un exemple :

fx=2-xx2-5×x+4 et  𝒟 = ℝ \\ 1;4 =-∞;1∪1;4∪4;+∞

Quand x tend vers 1 :

limx→1+fx=-∞

limx→1-fx=+∞

Quand x tend vers 4 :

limx→4+fx=-∞

limx→4-fx=+∞

On peut donc dire qu’on a deux asymptotes verticales d’équations x=1 et x=4 tracées respectivement en rouge et en vert dans l’illustration ci-dessous :

Soit l  un réel. On dit que fx  tend vers l  quand x  tend vers x0  lorsque tout intervalle contenant l  contient toutes les valeurs de f(x)  pour x suffisamment proche de x0 .

On note :

limx→x0fx=l ou limx0f=l

Par exemple on a :

limx→22×x=4

limx→0x+3x+5=35

On peut établir la remarque suivante : si f  est une fonction usuelle et si x0  appartient à l’ensemble de définition de f, alors la limite en x0  de f  est égale f(x0 ). On a ainsi l’égalité suivante :

limx→x0fx=f(x0)