1. Etude de la fonction exponentielle

1. 1. Signe

Théorème 4 : la fonction exponentielle est strictement positive sur IR.

Démonstration : on sait que expx≠0  pour tout réel. De plus la fonction exponentielle est continue car dérivable sur IR. S’il existe un réel a tel que exp(a) < 0, d’après le théorème des valeurs intermediaires il existerait un réel a tel que exp(α)=0  ce qui est impossible. La fonction exponentielle est donc strictement positive.

1. 2. Variation

Théorème 5 : la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

Conséquence comme la fonction exponentielle est strictement croissante,on peut écrire les équivalences suivante :

Règle 1 :

Soit a et b deux réels, on a les équivalences suivantes :

ea=1⇔a=0                     ea>1⇔a>0

                                  ea=eb⇔a=b                  ea<eb⇔a<b                               

Exemples d’application :

• Résoudre dans IR l’équation : e2x2-3=e7x

D’après les équivalences ci-dessus, l’équation est équivalente à :

2x2-3=7x⇔2x2-7x+3=0

On calcule ∆=49-24 soit ∆=25=52 , On obtient les deux solutions

x1  =7+54=3 et x2  =7-54= 12  d’où        S=12;3

• Résoudre dans IR l’inéquation suivante : e3x≤ ex+6

D’après les équivalences ci-dessus, l’équation est équivalente à :

3x≤x+6⇔2x≤6 ⇔x≤3 soit S=-∞;3

 2.3 Limites

Théorème 6 :

On a les limites suivantes :

limx→+∞ex=+∞ et limx→-∞ex=0

Démonstration : soit la fonction f suivante : fx=ex-x

Dérivons la fonction f : f'x=ex-1

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a :

fx>0⇔x>0 et f'x<0 ⇔x<0

On obtient alors le tableau de variation suivant:

Du tableau de variation on en déduit : ∀x∈IR fx>0 donc ex>x

Or on sait que limx→+∞x=+∞  par comparaison on a :

limx→+∞ex=+∞

En faisant le changement de variable X= -x, on obtient :

limx→-∞ex=limx→+∞eX=limX→+∞1eX=0

2.4 Courbe représentative

D’après les renseignements obtenus, on a donc le tableau de variation suivant :

On obtient la courbe suivante :

2.5 Des limites de référence

Théorème 7 :

On a

limx→0ex-1x=1

Démonstration: La demonstration découle de la definition de la dérivée en 0 appliquée à la fonction ex .

limx→0ex-1x=exp'0=exp0=1

Théorème 8 : croissance comparée

limx→-∞exx=+∞ et limx→+∞xex=0

Démonstration : comme pour la limite de ex  en +∞ , on étudie les variations d’une fonction. Soit donc la fonction g définie sur IR par :

gx=ex-x22

On calcule la dérivée g':g'x=ex-x

 D’après le paragraphe 2.3, on a : ∀x∈IR ex>x donc g'x>0 par Epie Epie