4.2 Étude d’une fonction

Exemple d’application

Soit la fonction f définie sur ]0; +∞[ par :           f (x) = x² − 4x − 4 ln x

1. Étudier les limites de f en 0 et +∞
2. Déterminer f ^′(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.
4. À l’aide d’une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10−3 près des solutions de l’équation f (x) = 0.

1. a) la limite en 0 ne pose pas de problème :

                                  limx→0+x2- 4x=0 et limx→0+-4lnx=+∞

Par somme, on a : limx→0+fx=+∞

            b) La limite en +∞  est indéterminée du type +∞-∞ . On change alors la forme de f(x)

fx=x2(1-4x-4x×lnxx)

Or limx→+∞x2=+∞ , limx→+∞4x  = 0 et limx→+∞lnxx=0

Par produit et somme, on a donc : limx→+∞fx=+∞

2. On calcule la dérivée :

f'x=2x-4-4x=2x2-4x-4x=2x2-2x-2x

f'x=0⇔x2-2x-2=0 avec x>0

On calcule ∆=4+8=12=(23)2 , on obtient comme racines :

α1=2+232=1+3 et  α2=1-3<0 non retenu

Signe de f(x)= signe de (x2-2x-2  ) avec x > 0

Obtient alors le tableau de variation suivant :

1. D’après le tableau de variation, sur les intervalles I1 =]0 ; 1 + 3 ] et
   I2 = [1 + 3 ; +∞[ la fonction f est continue, strictement monotone et change
   de signe donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0
   admet deux solutions α1 et α2 (une dans chaque intervalle)

2. À l’aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
   approchées suivantes :
   0, 600 < α1 < 0, 601 et 5, 261 < α2 < 5, 262

À titre indicatif, voici la courbe de la fonction f .