Cours de Math terminale S
Nombres complexes
Calculer dans ℂII – Calculer dans ℂ
- Somme et produit
Définition :
On considère deux complexes z et z’ de formes algébriques respectives x+iy
et x'+iy'
.
-La somme de z et de z’ est le complexe zz'
= x+x'
+i(y+y'
).
-Si k est un réel, alors le produit de k par z est le complexe kz
= kx+iky
.
Le produit de z et de z’ est le nombre complexe zz’ = xx’-yy’+i(xy’+yx’).
Exemples :
- -1 + 7i + 3 - 2i = 2 + 5i
- (-1 + 7i)(3 - 2i) = -3 + 2i + 24i - 14i² = 14 – 3 + 23i = 11 + 23i
Remarques :
Dans le plan complexe, on considère M (z) et M’ (z’).
On définit le point S par . Alors l’affixe de S est z + z’.
- Pour k réel non nul, M’’ (kz) est l’image du point M par l’homothétie de centre O et de rapport k car :
.
R(iz) est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle car
et
;
donc OM = OR.
Propriétés :
Avec les notations habituelles :
1) ;
2) Si I est le milieu de [AB] alors
3) Si G est le barycentre de alors
- Quotient
Définition :
On considère un nombre complexe z non nul d’écriture algébrique x+iy .
On cherche un complexe z’ tel que zz’ = 1.
On remarque que :
Alors donc
.
Définition :
On considère z et z’ deux complexes avec z’ non nul
On pose et
.
Exemple :
alors
.
- Propriété du conjugué d’un complexe
Propriété :
Pour tous complexes z et z’ de formes algébriques z=x+iy
et z'=x'+iy'
:
