I – Définition et représentation

Définition :

Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iy  avec x  et y  deux réels et i un nombre imaginaire tel que i² = -1.

L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans .

Théorème:

On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O,u ,v )

A tout point M de coordonnées ( x ; y ), on associe de manière unique le nombre complexe x+iy . Réciproquement, à tout nombre complexe x+iy  on associe de manière unique le point M du plan de coordonnées ( x ; y ).  

Vocabulaire :

Le plan muni du repère est appelé plan complexe.

Le nombre complexe x+iy  est l’affixe du point M et du vecteur . On écrit .

Le point M est l’image du nombre complexe x+iy .

Si z = x+iy  avec x et y réels alors :

• x  est la partie réelle de z, notée Re(z)
• x  est la partie imaginaire de z, notée Im(z)
• x+iy  est la forme algébrique de z.

Tout point sur l’axe des abscisses est l’image d’un nombre complexe de la forme

 . Donc on a  ℂ. L’axe des abscisses est l’axe réel.

Tout point sur l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre complexe de la forme  . L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple :

 ;  ;  ; .

Théorème :

• Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
• Un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Définition :

On considère un nombre complexe z de forme algébrique x+iy . Le nombre complexe x-iy , noté  est le conjugué de z.

M’ ( ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.