5 Le logarithme décimal

5.1 Définition

Définition 2 :

On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0; +∞[ par :

logx=lnxln10

Remarque :

• On a : log x = 1ln10×lnx . Comme  1ln10 > 0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln.

• La fonction log transforme les produits en sommes

• y = log x ⇔ x = 10y
ainsi : log 101  = 1, log 102  = 2, . . ., log 10n  = n

• On a la représentation ci-dessous : log′ x = 1xln10

1. 1. Applications
      1. Nombre de chiffres dans l’écriture décimale

Un nombre N ≥ 1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10. Soit alors 10p≤ N< 10p+1

Dans ce cas, N possède p + 1 chiffres.

Comme la fonction log est une fonction croissante, on a :

log10p≤ logN< log10p+1

p≤ logN< p+1

On a donc :      E(log N) = p       où E est la fonction partie entière Conclusion : le nombre de chiffres de N est donc :              E(log N) + 1. Application : quel est le nombre de chiffres de 20112012 ?

log 20112012 = 2012 log 2011 ≃ 6 646,465

On en déduit alors que 20112012 possède 6 647 chiffres !