Définition       Une suite numérique est une fonction de IN  vers IR :  s:n→s(n)

Notations - Vocabulaire:

                    · L'écriture fonctionnelle s(n) est peu utilisée pour désigner l'image de l'entier naturel n par la fonction s. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): s_n. Avec cette notation l'image de 0 est s₀.
On appelle s(0) = s₀ , le premier terme de la suite s . De même, s(1) = s₁ est le second terme de la suite s.

                      · De façon générale:

s_n est le terme d'indice n ou de rang n de la suite s.
                                   On dit aussi que s_n est le terme général de la suite s.
                        · On écrit aussi s = (s_n) , pour indiquer qu'il s'agit de la suite dont le terme de rang n est s_n où nÎ IN .
                                               Remarque: il arrive parfois que le premier terme d'une suite (s_n) ne soit pas s₀ .
            Par exemple :  n'existe pas pour n = 0. La suite commence au rang 1. On écrira alors: (s_n)nÎ IN       ^*.
             n'existe pas pour n = 0, ni pour n = 1. La suite commence au rang 2. Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de IN  où la suite est définie: Ici n ³ 2.
 

            Diverses manières de définir une suite:

1) Suites définies par une égalité fonctionnelle:

            Une suite numérique étant une fonction définie sur IN, c'est donc la restriction à  IN  d'une fonction définie sur IR  ou un sous ensemble de IR  contenant IN.
            Par exemple, la suite u_n = n² (nÎ IN ), est la restriction à IN  de la fonction f définie sur IR  par f(x) = x². L'intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites!

2) Suite définie par une formule de récurrence:

            La spécificité des suites sur les fonctions de la variable réelle, est que, pour tout entier naturel n, son image s_n étant "numérotable", on peut définir le terme s_n+1 en fonction du terme précédent s_n par une formule appelée formule de récurrence.
            Plus précisément, la suite s_n sera définie par récurrence par:
                - Son premier terme s₀ .
                - Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite: s_n+1  = f(s_n )

            Par exemple, la suite définie par son premier terme u₀ = 5 et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: u_n+1 = .
 

            Suites arithmétiques et géométriques:

                        n étant un entier naturel quelconque:

            Exemples:
- La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
            - La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
            - La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
            - La suite définie par la formule: U_n = an + b  (fonction affine de n) est la suite arithmétique de pre­mier terme U₀ = b et de raison a.
            - La suite constante de terme général U_n = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
            - La suite de terme général U_n = (-1)ⁿ  est la suite géométrique de premier terme

U₀ = 1 et de raison -1.
            - La suite des puissances d'un nombre réel a non nul, de terme général U_n = aⁿ est la suite géométrique de premier terme U₀ = 1 et de raison a.
            - La suite définie par la formule: U_n = a bⁿ  (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U₀ = a et de raison b (b réel non nul).
 

Somme des termes d'une suite arithmétique:
            Pour tout entier naturel n, on a:
                         k=0k=nk=1+2+3+⋯+n-1+n=n(n+1)2   et

            Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, on a:
                                  

                      k=0k=nuk=u0+u1+u2+⋯+un=n+1u0+rnn+12=(n+1)u0+un2

Exercice d’application

(un) _n  est une suite numérique définie par : ∀  n∈ IN, un = -2n+2

1. Montrer que (un) _n  est une suite arithmétique.
2. On pose :

     Sn = u0+u1+u2+⋯+un

Calculer Sn  en fonction de n

Résolution

1. Montrons que  (un) _n  est une suite arithmétique.

(un) _n  est une suite arithmétique s’il existe un  r∈IR  / ∀ n∈ IN , un+1-un=r

Soit n∈ IN  un+1-un=-2n+1+2+2n-2 = -2

 On pose r=-2

  Nous pouvons calculer u0 = -2*0+2= 2

Donc (un) _n  est une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u0 =2

2. On pose

        Sn = u0+u1+u2+⋯+un

                Calculons Sn  en fonction de n.

                         Sn = u0+u1+u2+⋯+un  (nous avons (n+1) termes  )

Sn =  (n+1)u0+un2 = (n+1)(2-2n+2)2  

 Sn =   (n+1)(-n+2)

            Somme des termes d'une suite géométrique:
                       Pour tout entier naturel n, et pour tout réel q ¹ 1, on a:
                                   k=0k=nqk=1+q+q2+q3+⋯+qn=   1-qn+11-q  et 

                       Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ¹ 1, on a:
                                  

k=0k=nuk=u0+u1+u2+⋯+un=u01-qn+11-q

            Ces propriétés ont été démontrées en classe de première, mais nous allons nous amuser à les redé­montrer avec une autre méthode

           

Principe du raisonnement par récurrence:

Exemple d’application.

Démontrez que pour tout entier non nul n, la somme des n premiers nombres entiers non nuls, est égale à  n(n+1)2 .

Dans cet exemple, la propriété P_n  n'est pas exprimée concrètement.

1ère étape : Exprimer et nommer la proprété P_n.
Pour chaque entier naturel n, non nul (ici on commence à n₀ = 1), on appelle P_n
la proposition logique : « 1+2+3+⋯+n= n(n+1)2 » ou encore

«k=1k=nk=n(n+1)2   »
Montrons, par récurrence que : Pour tout entier n : [P_n est vraie].
1°) Initialisation.
Pour n = 1, il n'y a qu'un seul terme dans la somme de gauche qui est égal à 1.
A droite, on a 1(1+1)2=22=1  D'où l'égalité. Donc P₁ est vraie.
2°) Hérédité.
Soit n∈ℕ
Supposons que P_n est vraie. (Hypothèse de récurrence).
Montrons que P_n+1 est vraie.
D'après l'hypothèse de récurrence, on sait que :  k=1k=nk=n(n+1)2  (HR)
Mais alors, [Astuce élémentaire : la somme des (n+1) premiers nombres est égale à la somme des n premiers nombres, plus le (n+1)-ème ], on sait que :
1+2+3+⋯+n+(n+1)=[1+2+3+⋯+n]+(n+1)
(*)
Or, par hypothèse de récurrence (HR) , on sait que : 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2
On remplace 1+2+3+...+n par la fraction dans l'égalité (*) et on obtient :
1+2+3+⋯+n+(n+1)= n(n+1)2 +(n+1) puis on réduit au même dénominateur.
Ce qui donne : 1+2+3+⋯+n+(n+1)= (n+1)(n+2)2  , qu'on peut encore écrire :
1+2+3+⋯+n+(n+1)= (n+1)(n+1+1)2
2 . Ce qui n'est autre que l'expression de P_n+1.
Ce qui montre que P_n+1 est vraie. Donc la propriété est héréditaire.

Conclusion. Pour tout entier n, P_n est vraie.

Représentations graphiques de suites:
                       

Lorsque la suite est définie par une égalité fonctionnelle du type u_n = f(n), la représentation traditionnelle des graphiques de fonction est utilisable: On obtient alors les points d'abscisses entières du graphique de la fonction de la variable réelle x: x → f(x).
Par exemple, le graphique de la suite (s_n) définie sur N^* par: , correspond aux point d'abscisses xÎN^* de la fonction définie sur R^* par :

Lorsque la suite est définie par une formule de récurrence du type u_n+1 = f(u_n), cette représentation n'est plus directement réalisable. On a alors recours à une représentation de type "toile d'araignée". Voyons cela sur un exemple:

Suites monotones:

                                   · Sens de variation d'une suite :