1. RAPPELS : Notion de dérivée

1. 1. Taux d'accroissement

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a , x∈I , x≠a . On
appelle taux d'accroissment de la fonction f entre a et b, le nombre réel :

fx-fax-a=∆y∆x

C'est le coefficient directeur de la droite (AM) où A(a, f (a)) et M(x, f (x)).

Autre méthode :

Si on pose h=x-a alors x=a+h et Δ x=h .On a une deuxième définition :

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a∈I . Soit h un nombre
réel non nul tel que a+h∈I . On appelle taux d'accroissment de la fonction f
entre a et a+h, le nombre réel .

fa+h-f(a)h=∆y∆x
C'est le coefficient directeur de la droite (AM) où A(a, f (a)) et M(a+h, f (a+h)).

Exemple 1.
Le taux d'accroissement de la fonction f : x → x² entre 1 et 1+h est donné par :

f1+h-f(1)h=(1+h)2-12h=1+2h+h2-1h=2h+h2h=2+h

1. 1. Nombre dérivé en un point

Lorsque h prend des valeurs h1, h2, h3,... « de plus en plus proches » de 0, le point M prend successivement les positions M1, M2, M3,....et a+h prend des valeurs « de plus en plus proches » de a ; les droites (AM1), (AM2), (AM3),.... tendent vers une position limite : la droite Ta , tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Le coefficient directeur de cette droite s'appelle le nombre dérivé de f au point
d'abscisse a et se note f ' (a).

Définition 3.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a∈I .On dit que la fonction f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f entre a et a+h tend vers un nombre réel fini, noté f '(a), lorsque h tend vers 0 et on écrit :

f'a=limh→0fa+h-f(a)h ou encore f'a=limx→afx-f(a)x-a

Le nombre f '(a) – lorsqu'il existe – s'appelle le nombre dérivé de f en a
et désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point
d'abscisse a.

Exemple 2.
Pour la fonction f : x → x²  vue ci-dessus, nous avons :

limh→0f1+h-f(1)h=limh→02+h=2∈IR

Donc la fonction carrée f : x → x²  est dérivable en 1 et f ' (1) = 2

Exemple 3.
La courbe suivante représente la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = x

Dérivabilité en 0 : Le taux d'accroissement de la fonction f (x) = x entre 0 et 0+h,

h>0, est donné par :

f0+h-f(0)h=0+h-xh=1h

Donc, limh→0+f0+h-f(0)h=limh→0+1x=+∞  n'est pas un nombre réel fini !

Par conséquent, la fonction racine carrée f : x →x  n'est pas dérivable en 0.Cependant, la droite T0, tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est une droite parallèle à l'axe des ordonnées (verticale). Elle n'a pas de coefficient directeur ! (La pente d'une droite verticale est infinie ; une droite parallèle à Oy n'a pas de coefficient directeur !)

Exemple 4.
La courbe suivante représente une fonction f définie sur ℝ :

Au point A( 2 ; 0) la courbe forme un angle et admet deux demi-tangentes qui n'ont pas le même coefficient directeur. On dit que la fonction f  n'est pas dérivable en 2.

1.3) Équation de la droite tangente

Théorème 1.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a∈ I . Si f est dérivable en
a et a pour nombre dérivé f ' (a), alors la droite Ta passant par le point A(a, f (a)) et de coefficient directeur f ' (a), est tangente à la courbe Cf  au point A. Son équation est donnée par : y= f ' (a)(x-a)+ f (a)

Démonstration.
Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. Alors, on a les équivalences suivantes: M (x ; y) ∈T a ⇔ Le coefficient directeur de la droite (AM) est m = f ' (a)

                            ⇔ ∆y∆x=f'(a)  (methode infaillible pour retrouver l’equation)

                            ⇔ y-f(a)x-a=f'(a)  puis j’écris l’égalité des produits en

                            ⇔ y- f (a)= f ' (a)(x-a) et je transpose f (a) à droite.
                            ⇔ y= f ' (a)(x-a)+ f (a)

Exemple 5. Nous avons vu que la fonction f : x → x² est dérivable en 1 et f ' (1) = 2.
Soit A(1, f (1))ÎCf . On a donc f (1) = 1 et f ' (1) = 2.
L'équation de la droite tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est donnée par :

y= f ' (1)(x-1)+ f (1) donc y=2(x-1)+1 donc y=2x-2+1 .
Conclusion : L'équation de la droite T0 tangente à la courbe au point d'abscisse 1 est : y=2 x-1

1.3) Fonction dérivée

Nous venons de définir le nombre dérivé d'une fonction en un point, nous allons
maintenant étendre cette notion à tous les points d'un intervalle

Définition 4.

1°) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ . On dit que f est dérivable
sur l'intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout nombre x∈I.

2°) Si f est dérivable sur l'intervalle I, alors on définit une nouvelle fonction sur I,
notée f ' qui à tout nombre x∈I fait associer le nombre dérivé f ' (x)

La fonction f ' s'appelle la fonction dérivée de f sur l'intervalle I.

Remarque.
Une fonction f définie sur un domaine Df  n'est pas nécessairement dérivable en tout point de Df. On peut dire donc que le domaine de définition Df ' de f ', qui est contenu, dans Df  n'est pas nécessairement égal à Df.
Nous avons vu ci-dessus que la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x)=x  n'est
pas dérivable en 0. Donc 0∈D f mais 0∉D f '.

II-Dérivées des fonctions usuelles

2.1) Dérivées des fonctions simples

Soit f une fonction définie sur ℝ , Df son domaine de définition et Df ' son domaine
de dérivabilité :