2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 3 :

Pour tous réels strictement positifs a et be on a 

lnab=lna+lnb

Demonstration : D’après les propriétés de l’exponentielle, on a :

ea=eb

Or elnab=ab  et elna+lnb=elna×elnb=ab

On conclut donc que lnab=lna+lnb

Remarque : c’est cette propriété qui est à l’origine de la fonction logarithme.

Exemple : ln2+ln3=ln6

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée

Démonstration :
1-Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l’exponentielle.
On a elnab=ab    elna-lnb=elnaelnb=ab  d’où la propriété : lnab=lna-lnb

2-Pour la deuxième propriété, on fait a = 1
3-La troisième propriété se démontre par récurrence à l’aide du produit.
4-Pour la dernière propriété : on a a=a ×a  donc d’après la propriété du
produit, on a :
lna=lna+lna=2lna    d’où lna=  12lna

Exemples : Voici 3 exemples d’utilisation de ces propriétés.
 

1-Exprimer ln 50 avec ln 2 et ln 5 et ln12  avec ln 2 et ln 3

On a 50=2×52  donc ln50=ln2+2ln5

On a 12=22×3  donc ln12 = 122ln2+ln3=ln2+12ln3

2-Déterminer l’entier n tel que 2n>   10 000

On a donc ln2n>ln104  soit nln2>4ln10   

On obtient alors : n>4ln10ln2 or4ln10ln2≈13,29  donc n≥14

3-Résoudre l’equation ln2x-3=ln6-x-12lnx

                                         2x-3 > 0                        x>32

L’équation existe ssi          6-x  > 0       ⇔               x>6     

                                           x>0

On en déduit l’ensemble de définition : Df = 32;6