Cours de Math terminale S
Trigonometrie
Parite et periodicite d une fonction- Parité et périodicité d'une fonction
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- Fonctions paires
Définition 1
Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ . On dit que D est symétrique par rapport à zéro ou que D est centré en zéro, si et seulement si :
Pour tout x ∈ℝ : [ x ∈ D ssi −x∈ D ]
Exemples.
ℝ , ℝ∖{0} ,[ – π ;+π],ℝ∖ {−1 ;+1} sont symétriques par rapport à zéro.
ℝ∖ {−1} , [1 ;+∞
[ ne sont pas symétriques par rapport à zéro
Définition 2
Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles ℝ et f une fonction définie sur D. On dit que f est paire lorsque les 2 conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition D est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout x ∈ D : [f (−x)= f ( x )]
Théorème 1.
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Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), |
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la courbe représentatative d'une fonction |
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paire est symétrique par rapport à l'axe des |
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ordonnées. |
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Exemple :(modèle) |
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La fonction carrée x → x2 définie sur ℝ est |
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une fonction paire car ℝ est symétrique par |
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rapport à zéro et pour tout x ∈ℝ : |
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f (−x)=(−x )2=x2 = f ( x) |
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- Fonctions impaires
Définition 3.
Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles ℝ et f une fonction définie sur D. On dit que f est impaire lorsque les 2 conditions suivantes sont vérifiées :
1°) le domaine de définition D est symétrique par rapport à zéro ;
2°) et pour tout x ∈ D : [ f (−x) = − f ( x) ]
Théorème 2.
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Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine O du repère. |
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Exemple :(modèle) La fonction cube x → x3 définie sur ℝ est une fonction impaire car Df = ℝ est symétrique par rapport à zéro et pour tout x ∈ℝ : f (−x)=(−x )3=−x3=− f ( x) |
Remarque : Si une fonction est paire ou impaire, on réduit le domaine d'étude à la partie positive de Df. La courbe de f peut alors se construire par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ou par rapport à l'origine O du repère.
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- Fonctions périodiques
Définition 4.
Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ et f une fonction définie sur D et T ∈ℝ un nombre réel donné. On dit que f est périodique de période T lorsque les 2 conditions suivantes sont vérifiées :
1°) Pour tout x ∈ℝ : [ x ∈ D ssi x+T ∈ D ]
2°) et pour tout x ∈ D : [f (x+T )= f ( x) ]
Remarque :
Pour construire la courbe d'une fonction périodique f de période T ∈ℝ, on construit (une portion de) la courbe sur un intervalle de longueur T, puis on duplique indéfiniment cette portion à droite et à gauche.
On dit qu'on a réduit le domaine d'étude à un intervalle de longueur T de Df.
Exemple.
Pour construire sur ℝ la fonction périodique de période T = 2 et définie pour
x ∈[−1 ;+1] par : f (x )=1− x2 , il suffit de construire la courbe de f sur un intervalle de longueur une période, ici [−1 ;+1 ] , puis dupliquer indéfiniment.
