Module et arguments

Définition :

On considère un nombre complexe z non nul affixe d’un point M dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O,u ,v )

Si M a pour coordonnées polaires , alors r est le module de z noté  et  est un argument de z noté arg z.

On a = r = OM  et arg z =  = (u ,OM)  (2 ).

Remarques :

1) Si z = 0 alors OM = 0 donc on pose = 0 mais 0 n’a pas d’argument.

2) Si z est réel, alors son module est sa valeur absolue.

3)

4)

Exemples :

alors et . Donc M est un point du cercle trigonométrique.

Théorème :

Pour tout nombre complexe z non nul dont l’image M a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; ), on a :

Forme algébrique :  

Forme trigonométrique :

Exemple :

Soit . Trouvons une forme trigonométrique de z.

• Calcul du module de z : .
• Alors . On a .

Théorème :

-Un nombre complexe est nul ssi son module est nul.

-Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument modulo 2 .

Propriétés :