IV. LIMITES ET COMPARAISON DE FONCTIONS
 

1. THEOREME DES GENDARMES
 

Si on a :

Et si pour x  assez grand u(x)≤w(x)≤v(x) , alors on peut dire que :

Demonstration du théorème des gendarmes

On peut établir la remarque suivante : le théorème reste valable si on remplace +∞ par-∞  ou par un réel x0 .

Illustrons  ce théorème par un exemple bien connu :

On souhaite déterminer :

Le cosinus n’a pas de limite en +∞ .

 Cependant , on sait que

Ainsi, pour tout x≠0 , on

On sait alors que :

Don d’après le théorème des gendarmes, on en déduit que :

2. LIMITES ET INEGALITES

Nous avons le théorème suivant, décomposé en deux énoncés :

-si limx→+∞gx=+∞  et si, pour x  assez grand, f(x)≥g(x) , alors on peut en déduire que :

limx→+∞fx=+∞

-si limx→+∞gx=-∞  et si, pour x  assez grand, f(x)≤g(x) , alors on peut en déduire que :

limx→+∞fx=-∞

Bien entendu, les limites en +∞ de ce théorème peuvent être remplacées sans problème par les
limites -∞ ou un réel x0 , le théorème est toujours valable.

2. CONTINUITE D’UNE FONCTION

2.1. Continuité en un point

Définition 1.  

Soit f  une fonction définie sur un intervalle I  et a∈I.

On dit qu’une fonction f est continue en un point a si et seulement si :

Définition 2.  

Soit f  une fonction définie sur un intervalle I  et a∈I.  La fonction

f est continue au point a si et seulement si f(a)  existe et les deux limites de
f(x)
 à gauche et à droite de a existent et sont égales à f(a)

limx→a+f(x)=limx→a-fx=f(a)

Définition 3.   Soit f  une fonction définie sur un intervalle I . On dit que la fonction f  est continue sur l’intervalle I  si et seulement si f est continue en tout point a de I

Remarques :

- Il se peut qu’une fonction ait une limite finie en a mais que cette limite ne soit pas égale à a

- Il se peut qu’une fonction ait une limite finie en a mais ne soit pas définie en a.

            Dans ces deux cas, la fonction n’est pas continue au point a.

2.2. Continuité sur un intervalle

            Remarques : Nous admettrons les résultats suivants :

- Toute fontion polynôme est continue sur R.

- Toute fonction rationnelle est continue sur les intervalles où elle est définie.

- La fonction  est continue sur .

- Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R.

- La fonction tangente est continue sur ses intervalles de définition.

Interpretation graphique

Définition  : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que la
fonction f est discontinue sur l'intervalle I si, et seulement si, il existe au moins un point a∈I où f n'est pas continue.

Exemples fondamentaux : Trois types de fonctions continues sont donnés par les théorèmes suivants :

Exemple : La fonction de référence f définie par : f (x)=x  est définie et continue
sur [0 ;+∞[ . La fonction polynôme u définie par : u(x)=3 x2 +4 est définie et
continue sur ℝ .
On considère la fonction h définie par : h(x)=3x2+4  =( f ∘u)(x) . h est définie et continue sur tout ℝ comme composée de deux fonctions continues, puisque pour tout x∈ℝ : u(x) est strictement positif.

2.3 Opérations sur les fonctions continues.

            Des propriétés sur les limites, on obtient immédiatement les résultats suivants :

            - Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I, alors il en est de même des fonctions f + g, fg, f ( réel), et, si g ne s’annule pas sur I, la fonction  est continue sur I.

            - Si la fonction f est continue sur I et si la fonction g est continue sur f(I), alors la fonction gf est continue sur I.

2.4. Image d’un intervalle par une fonction continue

            Nous admettrons le théorème suivant :

            Remarques :

                        - Si l’intervalle I est fermé, alors son image f(I) est un intervalle fermé.

                        - Si l’intervalle I n’est pas fermé, alors son image est un intervalle qui peut être fermé, ouvert ou semi-fermé.

            Conséquence importante :

            Cette propriété permet de démontrer l’existence d’une solution à une équation sans pour autant être en mesure de calculer cette solution ...

2.5) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 4 : T.V.I

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b].
Alors pour tout nombre réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel
c∈[a ; b] tel que f (c) = k. On dit que toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b) sont atteintes par la fonction f au moins une fois.

Remarque : On n'a pas parlé de l'intervalle [f (a) ; f (b)], ni de [f (b) ; f (a)] car, pour
l'instant, on ne sait pas a priori, laquelle des deux valeurs est plus grande que l'autre.

Illustration graphique.

Dans notre cas de figure, selon la
position de k dans l'intervalle
[f (a) ; f (b)], il existe une, deux ou
trois valeurs de c∈[a ;b] telles
que f (c) = k.
Par conséquent, dans ce cas général,
il existe au moins un c∈[a ;b] tel
que f (c) = k.

Un corollaire est une conséquence directe et immédiate du théorème précédent.
En général, c'est une version du théorème dans un cas particulier

On dit que toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b) sont atteintes
exactement une fois par la fonction f

Illustration graphique

f continue et strictement croissante, alors pour tout nombre réel k ∈[ f (a); f (b)] ; il existe un unique réel c∈[a ;b] tel que f (c) = k.

f continue et strictement décroissante, alors pour tout nombre réel k ∈[ f (a); f (b)] , il existe un unique réel c∈[a ;b] tel que f (c) = k.

Ce corollaire est une conséquence immédiate du corollaire n°1. En effet, il suffit de

 prendre k = 0 dans le corollaire 1.Dire que f (a)× f (b)<0 signifie que

 « f (a) et f (b) sont de signes contraires »,donc « 0 est compris entre f (a) et f (b) ».

2.6. Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle.

            Si f est une fonction continue et strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I vers f(I) = J. La fonction f admet donc une fonction réciproque f^-1 de J vers I.

            Conséquences :

            - Si f est une fonction continue strictement ...

                        a) croissante sur un intervalle I = [a, b], alors f(I) = [f(a), f(b)].

                        b) croissante sur un intervalle I = [a, b[, alors f(I) = [f(a), [.

                        c) croissante sur un intervalle I = ]a, b], alors f(I) = ] , f(b)].

                        d) croissante sur un intervalle I = ]a, b[, alors f(I) = ] , [.

                        e) décroissante sur un intervalle I = [a, b], alors f(I)