3 Étude de la fonction logarithme népérien
 

     3.1 Dérivée

  Théorème :

 la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞  et

lnx'=1x

 Démonstration :  On admet que la fonction ln est continue sur 0;+∞

On revient à la définition de la dérivée, c’est à dire on cherche a ∈ 0;+∞ pour lesquels la limite suivante est finie :

limx→alnx-lnax-a

Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. On pose alors  X = ln x et A = ln a. On a alors x  = e^X et a  = e^A et si x  → a, comme la fonction ln est continue sur 0;+∞ , alors X → ln a. La limite devient alors :

limX→lnaX-AeX-eA

Or la fonction exponentielle est dérivable sur R et la dérivée en ln a est e^{ln a} :

limX→lnaeX-eAX-A=elna=a

Cette limite est strictement positive pour a ∈]0; +∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour tout a ∈]0; +∞[ et :

limX→lnaX-AeX-eA=1a

Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et (ln x)′ = 1x

3.2 Limite en 0 et en l’infini

Théorème 6 :

On a les limites suivantes :

                                    limx→+∞lnx=+∞  et limx→0+lnx=-∞  

 Demonstration :

• Pour montrer la limite en +∞ , on revient à la définition :

Pour tout M > 0, si ln x > M alors, comme la fonction exp est croissante,

x > e^M.

Il existe donc un réel A  = e^M tel que si x > A alors ln x > M.

       Conclusion :                                     limx→+∞lnx=+∞

• Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On pose X=1x

Donc si x→0+  alors X→+∞ , on a alors :

limx→0+lnx=limX→+∞ln1X=limX→+∞-lnX=-∞

3.3 Tableau de variation et courbe
 

On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de
variation :

3.4 Des limites de référence

Théorème 7 :

on a :limx→0ln⁡(1+x)x=1

Démonstration : Cela découle de la dérivée de ln x=1, en effet, on

ln)'(1=11=1 (1)

ln)'(1=lim                               x→0ln1+x-ln1x=limx→0ln1+xx (2)

1. et (2) ⇔limh→0ln1+hh=1      

Théorème 8 :

Croissance comparée

limx→+∞lnxx=0 et limx→0+xlnx=0

Demonstration :

1-Pour la première limite,on fait un changement de variable

On pose : X = ln x,on a alors x = e^X.On a alors :

x→+∞ alors X→+∞

Notre limite devient alors :

limx→+∞lnxx=limX→+∞XeX=0 car limX→+∞eXX=+∞

2-pour la deuxième limite,on fait le changement de variable suivant : X=1x  on a alors :

x→0+ alors X→+∞

La deuxième limite devient alors :

limx→0+xlnx=limX→+∞ par Epie Epie