1. 1. Le problème de l'évidence

              L’acceptation de la vérité d’un axiome repose sur son évidence. Seulement, l’évidence comme critère de vérité n’est pas suffisante pour fonder une science comme les mathématiques. L’évidence est d’abord un ressenti, elle relève donc de la subjectivité qui ne va pas de paire avec la science qui se veut objective. Il existe en effet de fausses évidences. LEIBNIZ dira: « Descartes a logé la vérité à l’hôtel de l’évidence, mais il a oublié de nous en donner l’adresse ». Il le dit pour montrer le caractère flou et indéterminé de l’évidence pour qu’elle soit une base solide pour une science comme les mathématiques.

1. 2. Le problème des géométries non euclidiennes

                Une autre critique interne vient des géométries non euclidiennes. Le postulat d’Euclide est considéré comme un axiome, mais les mathématiciens ont toujours eu l’intuition que ce n’était qu’un simple postulat, ou encore ce que l’on doit pouvoir démontrer. Ils s’y sont lancés sans jamais y arriver. Au XIXe siècle, plusieurs mathématiciens décident de ne pas le démontrer directement, mais d’adopter le problème d’une autre façon remplaçant le postulat d’Euclide par un postulat qui va le contredire. Des mathématiciens comme Riemann vont remplacer le postulat d’Euclide par celui-ci : « par un point extérieur à une droite d, il ne peut passer aucune droite parallèle à la droite d. » En posant ce postulat non-euclidien, ils s’attendent à tomber sur des contradictions lors de leur démonstration. Ils sont étonnés de découvrir qu’au contraire, l’on peut fonder sur ce postulat une géométrie très vraie mais qui donne des théorèmes très bizarres. Illustrons-le : La somme des angles d’un triangle n’est pas égale à 180 degrés, ou encore, par deux points, on peut faire passer une infinité de droites. Pour bien comprendre cela, on peut imaginer que ce sont les axiomes euclidiens mais projetés sur un espace sphérique. La géométrie non-euclidienne montre donc que les axiomes ne sont ni vrais, ni faux, ce sont des conventions et on peut en choisir d’autres. Cela fragilise donc la démonstration mathématique.